Examkin

Soru

Zorluk: Zor(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bir ağır sanayi tesisinin lojistik merkezinde, paletlenmiş ürünlerin son güvenlik taraması tek bir otomatik tarayıcı ünitesi tarafından yapılmaktadır. Ürünlerin bu tarama ünitesine gelişleri Poisson dağılımına uymakta olup, varış hızı saatte ortalama 4040 palettir.

Tarama ünitesinin işlem (hizmet) süreleri genel (gelişigüzel) dağılıma sahiptir. İstatistiksel analizlere göre, bir paletin taranma süresinin ortalaması 1,21,2 dakika ve bu sürenin standart sapması 0,90,9 dakikadır.

Sistemin kararlı durumda çalıştığı bilindiğine göre, bir paletin tarama işlemi başlamadan önce kuyrukta beklediği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

  1. A
    116\frac{1}{16}
  2. B
    53\frac{5}{3}
  3. C
    52\frac{5}{2}
  4. 154\frac{15}{4}Cevap
  5. E
    245\frac{24}{5}

Cevap

Bir paletin kuyrukta beklediği ortalama süre 154\frac{15}{4} dakikadır.
Doğru çözüm için öncelikle varış hızı dakikaya çevrilmelidir (λ=2/3\lambda = 2/3 palet/dk). Verilen ortalama hizmet süresi 1,21,2 (6/56/5) dakika ile sistem yoğunluğu ρ=0,8\rho = 0,8 bulunur. Standart sapma 0,90,9 dakikanın karesi alınarak varyans (81/10081/100) elde edilir. Pollaczek-Khinchine formülünde pay ((4/9)⋅(81/100)+16/25=1)\left((4/9) \cdot (81/100) + 16/25 = 1\right) ve payda 2(1−0,8)=2/52(1-0,8) = 2/5 hesaplanır. Buradan kuyruk uzunluğu Lq=5/2L_q = 5/2 palet çıkar. Son aşamada Little Teoremi ile Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda işlemi yapılarak (5/2)/(2/3)=15/4(5/2) / (2/3) = 15/4 dakika sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametreleri ortak bir zaman birimine (dakika) çevirerek sistem yoğunluğunu (ρ\rho) hesaplayınız.
Varış hızı λ=40 palet/saat=4060=23 palet/dakika\lambda = 40 \text{ palet/saat} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \text{ palet/dakika}. Ortalama hizmet süresi E[S]=1,2=65 dakikaE[S] = 1,2 = \frac{6}{5} \text{ dakika}. Sistem yoğunluğu ρ=λ⋅E[S]=23⋅65=45=0,8\rho = \lambda \cdot E[S] = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{4}{5} = 0,8.
Kuyruk modellerinde tüm oranların (varış ve hizmet) aynı zaman biriminde ifade edilmesi, doğru sonuç almak için zorunludur.
2
Hizmet süresi standart sapmasını varyansa dönüştürüp, Pollaczek-Khinchine formülünün pay kısmını hesaplayınız.
Standart sapma σ=0,9=910 dakika  ⟹  Varyans σ2=81100\sigma = 0,9 = \frac{9}{10} \text{ dakika} \implies \text{Varyans } \sigma^2 = \frac{81}{100}. Pay değeri: λ2σ2+ρ2=(23)2⋅81100+(45)2=(49⋅81100)+1625=925+1625=1\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{81}{100} + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \left(\frac{4}{9} \cdot \frac{81}{100}\right) + \frac{16}{25} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1.
(M/G/1) sistemlerinde kuyruk uzunluğunu belirleyen temel faktör, hizmet süresinin gelişigüzel dağılımından kaynaklanan varyans etkisidir.
3
Pollaczek-Khinchine formülünü tamamlayarak kuyrukta beklenen ortalama palet sayısını (LqL_q) bulunuz.
Payda değeri: 2(1−ρ)=2(1−45)=252(1 - \rho) = 2\left(1 - \frac{4}{5}\right) = \frac{2}{5}. Buradan Lq=PayPayda=12/5=52=2,5 paletL_q = \frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2} = 2,5 \text{ palet}.
Pollaczek-Khinchine formülü (Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)}), genel dağılımlı hizmet süreleri için sistemdeki kuyruk uzunluğunu verir.
4
Little Teoremini kullanarak kuyruk uzunluğunu (LqL_q), kuyrukta bekleme süresine (WqW_q) dönüştürünüz.
Wq=Lqλ=5/22/3=52⋅32=154=3,75 dakikaW_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{5/2}{2/3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{4} = 3,75 \text{ dakika}.
Little Teoremi uyarınca bekleme süresi, kuyruk uzunluğunun varış hızına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Pollaczek-Khinchine Formülü ve Little Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bu konudan daha fazla soru