Examkin

Soru

Zorluk: KolayOlasılık İntegral Dönüşümü

Bir üretim tesisinde imal edilen elektronik parçaların kullanım ömrü, birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x) olan sürekli bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Kalite kontrol mühendisleri, bu parçaların dayanıklılık verilerini simülasyon ortamında test etmek amacıyla Y=F(X)Y = F(X) dönüşümünü uygulamaktadır.

Buna göre, elde edilen YY rastgele değişkeninin olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (0,1)(0, 1) aralığında düzgün (üniform) dağılımCevap
  2. B
    Standart normal dağılım
  3. C
    (0,1)(0, 1) aralığında üstel dağılım
  4. D
    Parametresi p=0,5p=0,5 olan Bernoulli dağılımı
  5. E
    (−1,1)(-1, 1) aralığında düzgün dağılım

Cevap

(0,1)(0, 1) aralığında düzgün (üniform) dağılım
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, eğer XX sürekli bir rastgele değişken ve FF bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ise, Y=F(X)Y = F(X) rastgele değişkeni daima (0,1)(0, 1) aralığında düzgün dağılıma (Standart Uniform) sahiptir. Bu özellik, istatistiksel simülasyonlarda herhangi bir dağılımdan rastgele sayı üretmek için temel teşkil eder.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (G(y)G(y)) tanımlayın.
G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)
Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu incelemektir.
2
FF fonksiyonunun sürekli ve artan olma özelliğini kullanarak eşitsizliği çözün.
P(X≤F−1(y))=F(F−1(y))=yP(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y
F(x)F(x) birikimli dağılım fonksiyonu olduğu için tanım gereği P(X≤x)=F(x)P(X \leq x) = F(x) eşitliği kullanılır.
3
Elde edilen G(y)=yG(y) = y sonucunu bilinen dağılımlarla karşılaştırın.
Y∼Uniform(0,1)Y \sim Uniform(0, 1)
Birikimli dağılım fonksiyonu [0,1][0, 1] aralığında G(y)=yG(y) = y olan tek dağılım Standart Düzgün dağılımdır.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Alternatif Yöntem

Yoğunluk dönüşüm yöntemi (Jakobiyen) kullanılarak da çözülebilir. Y=F(X)Y = F(X) ise dY/dX=f(X)dY/dX = f(X) olur. Buradan fY(y)=fX(x)/∣dY/dX∣=fX(x)/fX(x)=1f_Y(y) = f_X(x) / |dY/dX| = f_X(x) / f_X(x) = 1 elde edilir. Yoğunluğu 1 olan ve [0,1][0, 1] aralığında tanımlı bu fonksiyon Uniform(0,1)Uniform(0, 1) dağılımıdır.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık İntegral Dönüşümü

Bu konudan daha fazla soru