Examkin

Soru

Zorluk: ZorHareketli Ortalama Modelleri (MA)

Bir finansal analist, belirli bir makroekonomik göstergenin durağanlaştırılmış serisini (YtY_t) incelemiş ve serinin veri üretim sürecini aşağıdaki gibi ikinci dereceden hareketli ortalama, MA(2), modeli ile tanımlamıştır:

Yt=εt−2.5εt−1+1.2εt−2Y_t = \varepsilon_t - 2.5\varepsilon_{t-1} + 1.2\varepsilon_{t-2}

Bu denklemde εt\varepsilon_t, sıfır beklenen değerli ve σ2\sigma^2 sabit varyanslı bir beyaz gürültü (white noise) sürecini ifade etmektedir.

Bu modele ve zaman serisi analizinin temel prensiplerine göre, süreçle ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

  1. Hareketli ortalama (MA) modelleri yapıları gereği her durumda durağan olduğu için bu süreç durağandır; ancak parametreler tersinirlik (invertibility) sınırlarının dışında kaldığı için model sonsuz dereceden bir otoregresif, AR(∞\infty), süreç olarak ifade edilemez.Cevap
  2. B
    Sürecin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir; katsayılar bu koşulu sağlamadığı için süreç durağan değildir.
  3. C
    Modelin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) sadece ilk iki gecikmede sıfırdan farklı değerler alıp sonrasında aniden sıfıra kesilirken, Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) kademeli olarak sönümlenme eğilimi gösterir.
  4. D
    Modelin katsayıları −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1 ve θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1 koşullarını sağladığından süreç tersinirdir; bu sayede seri, sadece geçmiş gözlem değerlerinin bir fonksiyonu olarak tahmin edilebilir.
  5. E
    Sürecin varyansı ve otokovaryansları zamana bağlı olarak değiştiğinden zayıf durağanlık varsayımı ihlal edilmiştir; bu nedenle otokorelasyon katsayılarının hesaplanması anlamsızdır.

Cevap

Doğru değerlendirme, MA modellerinin doğası gereği her zaman durağan olduğunu ancak verilen modelin katsayılarının tersinirlik koşullarını sağlamadığı için geçmiş gözlemler cinsinden (AR formu) yazılamayacağını belirten ifadedir.
Hareketli ortalama (MA) süreçleri sonlu varyansa sahip beyaz gürültü serilerinin doğrusal kombinasyonlarıdır, bu nedenle varyans ve otokovaryansları zamana bağlı değişmez; yani katsayı değerleri ne olursa olsun her zaman zayıf durağandır. Bir MA modelinin tersinir (invertible) olabilmesi, yani serinin geçmiş değerlerinin yakınsak bir fonksiyonu olarak (AR(sonsuz) formatında) ifade edilebilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir. MA(2) standart formülü (Yt=εt−θ1εt−1−θ2εt−2Y_t = \varepsilon_t - \theta_1\varepsilon_{t-1} - \theta_2\varepsilon_{t-2}) baz alındığında modelimizde θ1=2.5\theta_1 = 2.5 ve θ2=−1.2\theta_2 = -1.2'dir. Tersinirlik ön koşulu olan −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1 eşitsizliği (−1<−1.2<1-1 < -1.2 < 1 doğru olmadığı için) sağlanmaz. Süreç durağan olmasına rağmen tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin durağanlık durumunu teorik olarak değerlendir
Hareketli ortalama (MA) modelleri, sonlu sayıdaki beyaz gürültü teriminin doğrusal kombinasyonu olduklarından katsayılarından bağımsız olarak her zaman durağandır.
Zaman serisi analizinde MA modellerinin temel durağanlık kuralını uygulamak
2
Model katsayılarını standart Box-Jenkins notasyonuna göre belirle
Standart form olan Yt=εt−θ1εt−1−θ2εt−2Y_t = \varepsilon_t - \theta_1\varepsilon_{t-1} - \theta_2\varepsilon_{t-2} denklemine göre katsayılar θ1=2.5\theta_1 = 2.5 ve θ2=−1.2\theta_2 = -1.2 olarak tanımlanır.
Tersinirlik koşullarını teorik eşitsizlikler üzerinden test edebilmek için
3
MA(2) süreci için tersinirlik (invertibility) sınırlarını kontrol et
Tersinirlik için gereken −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1 şartı, θ2=−1.2\theta_2 = -1.2 olduğu için (−1<−1.2<1-1 < -1.2 < 1 yanlıştır) ihlal edilmiştir. Diğer şart olan θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1 (2.5−1.2=1.3<12.5 - 1.2 = 1.3 < 1) de ihlal edilmiştir.
Modelin AR(sonsuz) formunda yazılıp yazılamayacağını matematiksel olarak ispatlamak için
4
ACF ve PACF davranışlarını teorik olarak doğrula
MA(2) modelinde ACF 2. gecikmede kesilir, PACF ise sönümlenir. Durağan ama tersinir olmayan bu modelin özellikleri seçeneklerle eşleştirilerek doğru yargıya varılır.
Çeldirici seçenekleri eleyerek analiz sonucunu kesinleştirmek için

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşulları
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareketli Ortalama Modelleri (MA)

Bu konudan daha fazla soru