Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGüç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bir kamu kurumundaki veri giriş uzmanlarının saatlik yaptıkları hata sayısı λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. λ\lambda parametresi için H0:λ=1H_0: \lambda = 1 hipotezine karşı H1:λ=2H_1: \lambda = 2 alternatif hipotezi test edilmek istenmektedir. Testin kritik bölgesi (red bölgesi) tek bir gözlem (n=1n=1) için X≥2X \geq 2 olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1−3e−21 - 3e^{-2}Cevap
  2. B
    3e−23e^{-2}
  3. C
    1−2e−11 - 2e^{-1}
  4. D
    1−2e−21 - 2e^{-2}
  5. E
    1−e−21 - e^{-2}

Cevap

Testin gücü 1−3e−21 - 3e^{-2} olarak hesaplanır.
Testin gücü, alternatif hipotez (λ=2\lambda=2) geçerliyken test istatistiğinin red bölgesine (X≥2X \geq 2) düşme olasılığıdır. Poisson dağılımı kurallarına göre bu olasılık 1−P(X=0)−P(X=1)1 - P(X=0) - P(X=1) şeklinde hesaplanır ve 1−3e−21 - 3e^{-2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Testin gücü tanımını belirle.
Gu¨c¸=P(X∈Red Bo¨lgesi∣H1 dog˘rudur)\text{Güç} = P(X \in \text{Red Bölgesi} \mid H_1 \text{ doğrudur})
Testin gücü, yanlış olan yokluk hipotezinin reddedilme olasılığıdır.
2
Alternatif hipotez (H1H_1) altındaki dağılımı ve parametreyi tanımla.
X∼Poisson(λ=2)X \sim \text{Poisson}(\lambda = 2)
Güç hesaplanırken parametrenin alternatif hipotezdeki değeri kullanılır.
3
Red bölgesi olasılığını Poisson formülü ile hesapla.
P(X≥2∣λ=2)=1−[P(X=0∣λ=2)+P(X=1∣λ=2)]P(X \geq 2 \mid \lambda=2) = 1 - [P(X=0 \mid \lambda=2) + P(X=1 \mid \lambda=2)]
Toplam olasılığın 1 olmasından yararlanarak tamamlayan olasılık üzerinden hesaplama yapmak daha pratiktir.
4
Olasılık değerlerini yerine koy ve sonucu bul.
1−[e−2⋅200!+e−2⋅211!]=1−[e−2+2e−2]=1−3e−21 - [\frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!}] = 1 - [e^{-2} + 2e^{-2}] = 1 - 3e^{-2}
Poisson olasılık kütle fonksiyonu P(X=k)=e−λλkk!P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} formülü uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Güç fonksiyonu γ(θ)\gamma(\theta), parametrenin her bir değeri için yokluk hipotezinin reddedilme olasılığını verir. Alternatif hipotezin kapsadığı noktadaki güç fonksiyonu değeri 'testin gücü' olarak adlandırılır.

Alternatif Yöntem

Güç fonksiyonu γ(λ)=1−e−λ−λe−λ\gamma(\lambda) = 1 - e^{-\lambda} - \lambda e^{-\lambda} genel formülü türetildikten sonra λ=2\lambda=2 değeri yerine yazılarak da sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bu konudan daha fazla soru