Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNeyman-Pearson Lemması

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, beklenen değeri θ\theta olan üstel dağılıma sahip bir kitleden alınan nn birimlik rastgele bir örneklem olsun. Kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0,θ>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \theta > 0

H0:θ=θ0H_0: \theta = \theta_0 basit yokluk hipotezinin, H1:θ=θ1H_1: \theta = \theta_1 (θ1<θ0\theta_1 < \theta_0) basit alternatif hipotezine karşı test edilmesi istenmektedir.

Buna göre, Neyman-Pearson Lemması kullanılarak elde edilecek en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisi biçimindedir? (Burada cc, belirlenen anlamlılık düzeyine bağlı olarak hesaplanan bir sabittir.)

  1. ∑i=1nXi≤c\sum_{i=1}^{n} X_i \leq cCevap
  2. B
    ∑i=1nXi≥c\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c
  3. C
    ∑i=1nXi2≤c\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq c
  4. D
    ∣∑i=1nXi−nθ0∣≥c\left| \sum_{i=1}^{n} X_i - n\theta_0 \right| \geq c
  5. E
    ∏i=1nXi≤c\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c

Cevap

En güçlü (MP) testin ret bölgesi, gözlemlerin toplamının belirli bir cc sabitinden küçük veya eşit olmasını ifade eden ∑i=1nXi≤c\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c eşitsizliğidir.
Neyman-Pearson Lemmasına göre en güçlü test, L(θ1)L(θ0)≥k\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} \geq k koşulu ile verilir. Üstel dağılımda bu oran logaritma alındığında negatif işaretli bir katsayıya sahip ∑Xi\sum X_i terimini ortaya çıkarır. θ1<θ0\theta_1 < \theta_0 olduğundan, ∑Xi\sum X_i istatistiğini yalnız bırakmak için negatif bir sayıya bölme işlemi yapılır. Bu da 'büyük eşittir' olan koşulun yön değiştirerek 'küçük eşittir' (∑Xi≤c\sum X_i \leq c) formuna dönüşmesini sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood function) her iki hipotez durumu için yazın.
L(θ)=θ−nexp⁡(−1θ∑i=1nXi)L(\theta) = \theta^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) elde edilir.
Neyman-Pearson Lemması, hipotez testlerinde en güçlü bölgeyi bulmak için olabilirlik fonksiyonlarının oranını temel alır.
2
Neyman-Pearson Lemmasına göre olabilirlik oranını kurgulayıp kk sabitiyle karşılaştırın.
L(θ1)L(θ0)=θ1−nexp⁡(−1θ1∑Xi)θ0−nexp⁡(−1θ0∑Xi)≥k\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \frac{\theta_1^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\theta_1} \sum X_i\right)}{\theta_0^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\theta_0} \sum X_i\right)} \geq k eşitsizliği yazılır.
Lemma, alternatif hipotezin olabilirlik değerinin yokluk hipotezine oranının kritik bir eşiği aşması durumunda H0'ın reddedilmesi gerektiğini söyler.
3
Oran ifadesini sadeleştirip logaritma alarak eşitsizliği ∑Xi\sum X_i yalnız kalacak şekilde düzenleyin.
−∑Xi(1θ1−1θ0)≥ln⁡k−nln⁡(θ0θ1)-\sum X_i \left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_0}\right) \geq \ln k - n \ln\left(\frac{\theta_0}{\theta_1}\right) ifadesine ulaşılır.
Test istatistiği olarak kullanacağımız yeterli istatistiği (gözlemlerin toplamını) diğer sabitlerden ayırmak gereklidir.
4
Eşitsizliğin yönünü belirlemek için katsayının işaretini inceleyin.
Verilen θ1<θ0\theta_1 < \theta_0 şartı nedeniyle 1θ1−1θ0>0\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_0} > 0 olur. Önünde eksi işareti olduğu için katsayı negatiftir. Her iki taraf negatife bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve ∑Xi≤c\sum X_i \leq c elde edilir.
Eşitsizlik kurallarında negatif bir değere bölme veya çarpma işlemi, büyüktür işaretini küçüktür işaretine dönüştürür.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ret bölgesi hesabı ve olabilirlik oranı testlerinde eşitsizlik yönünün belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Neyman-Pearson Lemması

Bu konudan daha fazla soru