Examkin

Soru

Zorluk: KolayOlasılık İntegral Dönüşümü

Bir istatistiksel analizde kullanılan sürekli XX rastgele değişkeni, kendi birikimli dağılım fonksiyonu (F(x)F(x)) yardımıyla Y=F(X)Y = F(X) şeklinde yeni bir değişkene dönüştürülmüştür.

Olasılık integral dönüşümü teoreminin temel özellikleri dikkate alındığında, elde edilen bu YY değişkeninin 0,30≤Y≤0,700,30 \leq Y \leq 0,70 aralığında bir değer alma olasılığı kaçtır?

  1. A
    0,300,30
  2. 0,400,40Cevap
  3. C
    0,700,70
  4. D
    F(0,40)F(0,40)
  5. E
    Verilen bilgilerle hesaplanamaz; XX değişkeninin hangi dağılıma sahip olduğunun bilinmesi gerekir.

Cevap

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ile yapılan dönüşüm sonucu elde edilen değişkenin aralık olasılığı 0,400,40 değerine eşittir.
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir XX rastgele değişkeni için Y=F(X)Y = F(X) dönüşümü yapıldığında, elde edilen YY değişkeni her zaman (0,1)(0, 1) aralığında sürekli düzgün dağılım (Uniform) gösterir. Standart düzgün dağılımda, herhangi bir [a,b]⊆[0,1][a, b] \subseteq [0, 1] aralığı için olasılık değeri P(a≤Y≤b)=b−aP(a \leq Y \leq b) = b - a formülüyle hesaplanır. Soruda verilen 0,300,30 ve 0,700,70 sınırları için bu fark 0,70−0,30=0,400,70 - 0,30 = 0,40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm sonrası yeni rastgele değişkenin dağılımını belirlemek.
Y=F(X)Y = F(X) rastgele değişkeni [0,1][0, 1] aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahiptir.
Olasılık İntegral Dönüşümü teoremi, sürekli bir değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu altındaki görüntüsünün daima U(0,1)U(0, 1) olduğunu kanıtlar.
2
Belirlenen dağılım üzerinden istenen aralık için olasılık hesaplamak.
P(0,30≤Y≤0,70)=0,70−0,30=0,40P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = 0,70 - 0,30 = 0,40.
Sürekli düzgün dağılımda (Uniform), olasılık yoğunluk fonksiyonu f(y)=1f(y) = 1 olduğu için olasılık değeri doğrudan aralık uzunluğuna (b−ab-a) eşittir.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Standart Düzgün Dağılım Özellikleri

Alternatif Yöntem

Sürekli düzgün dağılımın birikimli dağılım fonksiyonunun FY(y)=yF_Y(y) = y olduğunu hatırlayarak, P(0,30≤Y≤0,70)=FY(0,70)−FY(0,30)=0,70−0,30P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = F_Y(0,70) - F_Y(0,30) = 0,70 - 0,30 şeklinde doğrudan çözüm yapılabilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık İntegral Dönüşümü

Bu konudan daha fazla soru