Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayma Kuralları ve Kombinatorik

Bir kamu kurumunda görev yapan 55 istatistikçi ve 66 ekonomist arasından 55 kişilik bir veri analizi proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak bu ekipte bir başkan ve bir başkan yardımcısı belirlenecektir.

Görevlendirme ile ilgili şu şartlar bulunmaktadır:
- Ekip başkanı istatistikçiler arasından, başkan yardımcısı ise ekonomistler arasından seçilmelidir.
- Ekibin geriye kalan 33 üyesi (özel bir unvanı olmayan normal üyeler) arasında en az 11 istatistikçi ve en az 11 ekonomist bulunmak zorundadır.

Buna göre, bu proje ekibi ve görev dağılımı kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    350
  2. B
    1200
  3. 2100Cevap
  4. D
    2520
  5. E
    4200

Cevap

Proje ekibi ve görev dağılımı kısıtlara uygun olarak 2100 farklı şekilde oluşturulabilir.
Sorunun doğru çözümü iki ana aşamadan oluşur. Birinci aşamada unvanlı kişiler seçilir; bu seçim belirli görevlere (başkan, yardımcı) yapıldığı için 5×6=305 \times 6 = 30 farklı şekilde gerçekleşir. İkinci aşamada ise geriye kalan 4 istatistikçi ve 5 ekonomist arasından unvansız 3 üye seçilir. Bu üç üye arasında her iki meslekten de en az bir kişi bulunması gerektiğinden, kompozisyon ya '1 İstatistikçi, 2 Ekonomist' ya da '2 İstatistikçi, 1 Ekonomist' olmalıdır. Birinci durum için (41)×(52)=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} = 40, ikinci durum için (42)×(51)=30\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 30 farklı seçim yapılabilir. Üyelerin toplam seçim yolları 40+30=7040 + 30 = 70'tir. Son olarak, birbirini tamamlayan bu ardışık aşamalar çarpılır: 30×70=210030 \times 70 = 2100.

Adım Adım Çözüm

1
Başkan ve başkan yardımcısının seçilmesi.
Başkan 5 istatistikçi arasından 5 şekilde, yardımcı 6 ekonomist arasından 6 şekilde seçilir. Toplam: 5×6=305 \times 6 = 30 durum.
Başkan ve yardımcı pozisyonları belirgin unvanlar olduğu için seçilen kişilerin konumları önemlidir (çarpma kuralı uygulanır).
2
Geriye kalan aday havuzunun belirlenmesi.
1 istatistikçi ve 1 ekonomist seçildiği için, üye olarak seçilebilecek geriye 4 istatistikçi ve 5 ekonomist kalır.
Bir kişi birden fazla göreve atanamayacağı için seçilen kişiler havuzdan çıkarılmalıdır.
3
Geriye kalan 3 üyenin kısıtlara uygun kombinasyonlarının hesaplanması.
Kalan 3 kişi içinde en az 1 ist. ve 1 eko. olması için iki durum vardır:
Durum 1 (1 İst. + 2 Eko.): (41)×(52)=4×10=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} = 4 \times 10 = 40
Durum 2 (2 İst. + 1 Eko.): (42)×(51)=6×5=30\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30
Toplam üye seçim durumu = 40+30=7040 + 30 = 70.
Üyeler arasında unvan farkı olmadığından kombinasyon (seçme) işlemi uygulanır ve ayrık durumlar toplanır.
4
Toplam olası görev dağılımı sayısının bulunması.
3030 (Başkan ve Yardımcı seçimi) ×70\times 70 (Üye seçimi) = 21002100 farklı şekilde oluşturulabilir.
Yönetim kadrosunun seçimi ile üyelerin seçimi birbirini izleyen ardışık aşamalar olduğu için temel sayma ilkesi gereği sonuçlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Temel Sayma İlkesi, Permütasyon (Sıralı Seçim) ve Kombinasyonun (Gruplama) Kısıtlar Altında Birlikte Kullanımı
Bu soruyu puanla

Konular

Sayma Kuralları ve Kombinatorik

Bu konudan daha fazla soru