Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayma Kuralları ve Kombinatorik

Ticaret Bakanlığı bünyesinde düzenlenecek 55 günlük bir e-ihracat eğitim programı için, her gün farklı bir uzmanın sunum yapacağı bir takvim oluşturulacaktır. Bu program için kurum içinden 44 uzman ve kurum dışından 66 uzman aday olarak belirlenmiştir.

Programa tam olarak 22 kurum içi ve 33 kurum dışı uzman seçilecektir. Ayrıca, seçilen 22 kurum içi uzmanın sunum yapacağı günlerin ardışık olmaması (peş peşe gelmemesi) gerekmektedir.

Buna göre, bu eğitim programının sunum takvimi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    120120
  2. B
    720720
  3. C
    57605760
  4. 86408640Cevap
  5. E
    1440014400

Cevap

Eğitim programının sunum takvimi, verilen kısıtlamalar altında toplam 86408640 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru çözüm için problem iki ana aşamaya bölünmelidir: Seçim ve Sıralama. Seçim aşamasında (42)×(63)=120\binom{4}{2} \times \binom{6}{3} = 120 farklı eğitmen kadrosu belirlenir. Sıralama aşamasında ise yan yana olmama koşulunu sağlamak için boşluk (gap) yöntemi kullanılır. 33 kurum dışı uzman 3!=63! = 6 şekilde sıralanır. Bu dizilim 44 adet boşluk yaratır (_ D _ D _ D _). 22 kurum içi uzman bu 44 boşluğa P(4,2)=12P(4,2) = 12 farklı şekilde yerleşir. Her bir grup için 6×12=726 \times 12 = 72 geçerli takvim dizilişi vardır. Toplam durum: 120×72=8640120 \times 72 = 8640 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kurum içi uzmanlar arasından programda yer alacak 22 kişinin seçilmesi.
(42)=4×32=6\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 farklı seçim yapılabilir.
Sıralama gözetmeksizin bir alt küme seçimi yapıldığı için kombinasyon kullanılır.
2
Kurum dışı uzmanlar arasından programda yer alacak 33 kişinin seçilmesi.
(63)=6×5×43×2×1=20\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 farklı seçim yapılabilir.
Aynı şekilde sıralama önemli olmadığından kombinasyon kullanılır.
3
Olası tüm eğitmen grubu kombinasyonlarının hesaplanması.
6×20=1206 \times 20 = 120 farklı 55 kişilik uzman grubu oluşturulabilir.
Her iki seçim birbirinden bağımsız aşamalar olduğu için Çarpma Kuralı uygulanır.
4
Seçilen 33 kurum dışı uzmanın günlere yerleştirilmesi.
3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanırlar.
Ardışık olmama kısıtını sağlamak için (Boşluk Yöntemi), önce herhangi bir kısıtı olmayan kurum dışı uzmanlar sıralanır.
5
Seçilen 22 kurum içi uzmanın, kurum dışı uzmanların oluşturduğu boşluklara yerleştirilmesi.
Kurum dışı uzmanlar 44 adet boşluk (baş, aralar ve son) yaratır. 22 kurum içi uzman bu 44 boşluğa P(4,2)=4×3=12P(4,2) = 4 \times 3 = 12 farklı şekilde yerleşebilir.
Kurum içi uzmanların yan yana gelmemesi için aralarındaki boşluklara yerleşmeleri ve her uzmanın farklı bir birey olması nedeniyle permütasyon kullanılması gerekir.
6
Seçilen 55 kişilik belirli bir grubun kurallara uygun diziliş sayısının hesaplanması.
6×12=726 \times 12 = 72 farklı geçerli diziliş vardır.
Kurum dışı uzmanların diziliş sayısı ile kurum içi uzmanların bu dizilişteki boşluklara yerleşim sayısı çarpılır.
7
Toplam olası takvim sayısının hesaplanması.
120×72=8640120 \times 72 = 8640 toplam takvim oluşturulabilir.
Olası uzman grubu sayısı (120120) ile her bir grubun kurallara uygun diziliş sayısı (7272) çarpılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Permütasyon (Sıralama) Kavramlarının Birlikte Kullanımı ve Boşluk Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Sayma Kuralları ve Kombinatorik

Bu konudan daha fazla soru