Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık İntegral Dönüşümü

Sosyal Güvenlik Kurumu aktüerya departmanında yapılan bir araştırmada, bir poliçe grubuna ait hasar ödeme sürelerini modelleyen sürekli bir XX rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x) olarak tanımlanmıştır.

Aktüer uzmanları, risk simülasyon modellerinde kullanılmak üzere yeni bir ZZ rastgele değişkenini aşağıdaki dönüşüm ile elde etmektedir:
Z=−2ln⁡(F(X))Z = -2 \ln(F(X))

F(x)F(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta kesin artan olduğu bilindiğine göre, ZZ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    Beklenen Değer: 11, Varyans: 11
  2. B
    Beklenen Değer: ln⁡(4)\ln(4), Varyans: 13\frac{1}{3}
  3. Beklenen Değer: 22, Varyans: 44Cevap
  4. D
    Beklenen Değer: 22, Varyans: 22
  5. E
    Beklenen Değer: −2-2, Varyans: 44

Cevap

Beklenen Değer: 22, Varyans: 44 seçeneği doğrudur.
Sürekli bir rastgele değişkenin CDF değeri U=F(X)U = F(X), daima (0,1)(0,1) aralığında standart Düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir. Verilen Z=−2ln⁡(U)Z = -2 \ln(U) dönüşümünde beklenen değer E[−2ln⁡(U)]=∫01−2ln⁡(u)du=2E[-2 \ln(U)] = \int_0^1 -2 \ln(u) du = 2 olarak, varyans ise Var(−2ln⁡(U))=E[(−2ln⁡(U))2]−E[−2ln⁡(U)]2=8−4=4Var(-2 \ln(U)) = E[(-2 \ln(U))^2] - E[-2 \ln(U)]^2 = 8 - 4 = 4 olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru beklenen değer 2, varyans ise 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform) kuralını uygula.
Sürekli ve kesin artan bir XX değişkeni için U=F(X)U = F(X) dönüşümünün standart Düzgün dağılıma sahip olduğu görülür: U∼Uniform(0,1)U \sim Uniform(0, 1).
Herhangi bir sürekli rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonundan (CDF) geçirilen değeri, tanım gereği (0,1)(0, 1) aralığında düzgün dağılır.
2
ZZ rastgele değişkenini UU cinsinden ifade et ve beklenen değer integralini kur.
Z=−2ln⁡(U)Z = -2 \ln(U) olur. Beklenen değer: E[Z]=∫01−2ln⁡(u)⋅1 duE[Z] = \int_{0}^{1} -2 \ln(u) \cdot 1 \, du
UU'nun olasılık yoğunluk fonksiyonu (0,1)(0,1) aralığında 11'dir. Sürekli beklenen değer formülü uygulanır.
3
E[Z]E[Z] integralini kısmi integrasyon (veya hazır limit) ile çöz.
∫ln⁡(u) du=uln⁡(u)−u\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u olduğundan, −2[uln⁡(u)−u]01=−2[(0−1)−0]=2-2 [u \ln(u) - u]_{0}^{1} = -2 [ (0 - 1) - 0 ] = 2. Yani E[Z]=2E[Z] = 2 bulunur.
Varyans hesabı için öncelikle birinci momentin (beklenen değer) doğru bulunması zorunludur.
4
ZZ'nin varyansını bulmak için ikinci momenti (E[Z2]E[Z^2]) hesapla.
E[Z2]=∫01(−2ln⁡(u))2 du=4∫01(ln⁡(u))2 duE[Z^2] = \int_{0}^{1} (-2 \ln(u))^2 \, du = 4 \int_{0}^{1} (\ln(u))^2 \, du. Bu integralin sonucu 4×2=84 \times 2 = 8 olur.
Varyans formülü Var(Z)=E[Z2]−(E[Z])2Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 eşitliğini gerektirir.
5
Varyansı elde et.
Var(Z)=8−(2)2=8−4=4Var(Z) = 8 - (2)^2 = 8 - 4 = 4.
Birinci ve ikinci momentler arasındaki fark alınarak rastgele değişkenin dağılım genişliği belirlenir.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Alternatif Yöntem

U=F(X)∼Uniform(0,1)U = F(X) \sim Uniform(0,1) olduğunu belirledikten sonra, CDF yöntemiyle Z=−2ln⁡(U)Z = -2 \ln(U) rastgele değişkeninin kendi dağılımını bulabiliriz: P(Z≤z)=P(−2ln⁡(U)≤z)=P(ln⁡(U)≥−z/2)=P(U≥e−z/2)=1−e−z/2P(Z \le z) = P(-2 \ln(U) \le z) = P(\ln(U) \ge -z/2) = P(U \ge e^{-z/2}) = 1 - e^{-z/2}. Elde edilen bu birikimli dağılım fonksiyonu, parametresi λ=1/2\lambda = 1/2 olan bir Üstel Dağılıma aittir (Üstel dağılımın CDF'si 1−e−λz1 - e^{-\lambda z} formundadır). Üstel dağılımda beklenen değer 1/λ=21/\lambda = 2 ve varyans 1/λ2=41/\lambda^2 = 4 olduğundan integral hesaplamaya gerek kalmadan sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık İntegral Dönüşümü

Bu konudan daha fazla soru