Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir rüzgâr enerjisi santralinde ölçülen anlık rüzgâr hızlarının (XX), λ>0\lambda > 0 parametreli Rayleigh dağılımına uyduğu modellenmiştir. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;λ)={xλe−x22λ,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \lambda) = \begin{cases} \frac{x}{\lambda} e^{-\frac{x^2}{2\lambda}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bu dağılımdan çekilmiş nn çaplı rastgele bir örneklem olmak üzere, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında λ\lambda parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i
  4. D
    1n∑i=1nXi\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
  5. E
    \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

Cevap

λ\lambda parametresi için yeterli istatistik ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 dir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bir istatistiğin yeterli olabilmesi için olabilirlik fonksiyonunun L(λ;x)=g(T(x),λ)⋅h(x)L(\lambda; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \lambda) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun ortak çarpımı alındığında L=λ−ne−12λ∑Xi2⋅∏XiL = \lambda^{-n} e^{-\frac{1}{2\lambda} \sum X_i^2} \cdot \prod X_i elde edilir. Burada parametre λ\lambda'yı içeren gg fonksiyonu, örneklem değerlerine yalnızca ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 üzerinden bağlıdır. Bu nedenle ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem için ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazın.
L(λ;x)=∏i=1nf(xi;λ)=∏i=1n(xiλe−xi22λ)L(\lambda; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{\lambda} e^{-\frac{x_i^2}{2\lambda}} \right)
Yeterli istatistiği bulmak için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi olabilirlik fonksiyonu üzerinden uygulanır.
2
Çarpım sembolünü fonksiyonun içine dağıtarak olabilirlik fonksiyonunu düzenleyin.
L(λ;x)=1λn(∏i=1nxi)e−12λ∑i=1nxi2L(\lambda; \mathbf{x}) = \frac{1}{\lambda^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\frac{1}{2\lambda} \sum_{i=1}^n x_i^2}
Parametreye bağlı terimler ile parametreden bağımsız sadece gözlem değerlerine bağlı terimleri ayırmak gerekir.
3
Elde edilen fonksiyonu Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi formuna (g(T(x),λ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \lambda) \cdot h(\mathbf{x})) getirin.
g(T(x),λ)=1λne−12λ∑i=1nxi2g(T(\mathbf{x}), \lambda) = \frac{1}{\lambda^n} e^{-\frac{1}{2\lambda} \sum_{i=1}^n x_i^2} ve h(x)=∏i=1nxih(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n x_i
Teoreme göre, gg fonksiyonunun içindeki T(x)T(\mathbf{x}) istatistiği λ\lambda için yeterli istatistiktir.
4
g(T(x),λ)g(T(\mathbf{x}), \lambda) fonksiyonundaki istatistiği belirleyin.
T(x)=∑i=1nxi2T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i^2
Parametre λ\lambda ile doğrudan etkileşim halinde olan veri özeti ∑Xi2\sum X_i^2 dir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile Yeterli İstatistik Bulma
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru