Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bir büyükşehir belediyesi, toplu taşıma hizmetlerinden memnuniyet oranını tahmin etmek amacıyla kent sakinleri arasından rastgele seçilen 900900 kişi ile bir anket çalışması yapmıştır. Anket sonucunda 324324 kişinin sunulan hizmetlerden memnun olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, kitledeki gerçek memnuniyet oranı (pp) için %95\%95 güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda standart normal dağılım kritik değerlerini Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96 ve Z0.05=1.645Z_{0.05} = 1.645 olarak alınız ve sonuçları virgülden sonra dört basamaklı olacak şekilde yuvarlayınız.)

  1. A
    [0.3337, 0.3863][0.3337, \ 0.3863]
  2. B
    [0.3077, 0.4123][0.3077, \ 0.4123]
  3. [0.3286, 0.3914][0.3286, \ 0.3914]Cevap
  4. D
    [0.3595, 0.3605][0.3595, \ 0.3605]
  5. E
    [0.3208, 0.3992][0.3208, \ 0.3992]

Cevap

Doğru aralık tahmini [0.3286, 0.3914][0.3286, \ 0.3914] olmalıdır.
Kitle oranı için büyük örneklemlerde asimptotik güven aralığı formülü p^±Zα/2p^(1−p^)n\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} şeklindedir. Verilenlere göre p^=0.36\hat{p}=0.36 ve n=900n=900'dür. %95\%95 güven düzeyi için çift yönlü test gereği Z0.025=1.96Z_{0.025}=1.96 kullanılır. Standart hata 0.36×0.64900=0.016\sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{900}} = 0.016 olarak hesaplandığında, hata payı 1.96×0.016=0.031361.96 \times 0.016 = 0.03136 bulunur. Aralık sınırları elde edildiğinde [0.3286, 0.3914][0.3286, \ 0.3914] aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranını (p^\hat{p}) hesaplama
p^=xn=324900=0.36\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{324}{900} = 0.36
Güven aralığının merkezini belirlemek için nokta tahmini olan örneklem oranına ihtiyaç vardır.
2
Güven düzeyi için uygun kritik Z değerini belirleme
1−α=0.95  ⟹  α=0.051 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05. Çift yönlü aralık tahmini için α/2=0.025\alpha/2 = 0.025 olup, ilgili standart normal dağılım değeri Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96'dır.
Kitle varyansı bilinmediğinde ve örneklem çapı yeterince büyük (np>5np>5, n(1−p)>5n(1-p)>5) olduğunda asimptotik olarak standart normal dağılım kullanılır.
3
Standart hata (SESE) hesaplama
SE=p^(1−p^)n=0.36×0.64900=0.2304900=0.000256=0.016SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{900}} = \sqrt{\frac{0.2304}{900}} = \sqrt{0.000256} = 0.016
Tahmin edicinin değişkenliğini ölçmek için asimptotik varyansının karekökü alınır.
4
Hata payını ve güven aralığı sınırlarını hesaplama
Hata Payı =1.96×0.016=0.03136= 1.96 \times 0.016 = 0.03136. Alt sınır =0.36−0.03136=0.32864= 0.36 - 0.03136 = 0.32864, Üst sınır =0.36+0.03136=0.39136= 0.36 + 0.03136 = 0.39136. Yuvarlandığında aralık [0.3286, 0.3914][0.3286, \ 0.3914] olur.
Nokta tahmininden hata payı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır bulunur.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için güven aralığı hesaplanması ve uygun standart hata varyans yapısının oluşturulması.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru