Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bir sivil toplum kuruluşu, ülke genelinde gençlerin sürdürülebilir enerji projelerine olan ilgisini ve katılım oranını tahmin etmek amacıyla geniş çaplı bir anket çalışması yapmıştır. Bu çalışma kapsamında rastgele seçilen 36003600 gençten 12961296'sının bu projelere aktif olarak ilgi duyduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, ülke genelindeki tüm gençlerin sürdürülebilir enerji projelerine ilgi duyma oranı için %95\%95 güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarınızda Z0.05=1.645Z_{0.05} = 1.645, Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96 ve Z0.005=2.58Z_{0.005} = 2.58 değerlerini kullanınız ve sonuçları virgülden sonra dört basamak olacak şekilde yuvarlayınız.)

  1. [0.3443, 0.3757][0.3443, \ 0.3757]Cevap
  2. B
    [0.3468, 0.3732][0.3468, \ 0.3732]
  3. C
    [0.3404, 0.3796][0.3404, \ 0.3796]
  4. D
    [0.3394, 0.3806][0.3394, \ 0.3806]
  5. E
    [0.3525, 0.3675][0.3525, \ 0.3675]

Cevap

Doğru güven aralığı [0.3443, 0.3757][0.3443, \ 0.3757] değerleridir.
Doğru güven aralığı p^±Zα/2p^(1−p^)n\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} formülü ile elde edilir. Örneklem oranımız p^=0.36\hat{p} = 0.36'dır. Standart hata ise 0.36×0.643600=0.008\sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{3600}} = 0.008 olarak hesaplanır. %95\%95 güven düzeyi için gereken Z0.025Z_{0.025} değeri 1.961.96'dır. Formülde yerine konduğunda 0.36±(1.96×0.008)0.36 \pm (1.96 \times 0.008) işleminden 0.36±0.015680.36 \pm 0.01568 hata payı bulunur. Bu işlem sonucunda aralık [0.3443, 0.3757][0.3443, \ 0.3757] olarak ortaya çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranını (p^\hat{p}) hesapla
p^=xn=12963600=0.36\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{1296}{3600} = 0.36
Güven aralığının nokta tahmini (merkezi) başarı sayısının örneklem çapına oranı ile bulunur.
2
Standart hatayı (SE) hesapla
SE=p^(1−p^)n=0.36×0.643600=0.23043600=0.000064=0.008SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{3600}} = \sqrt{\frac{0.2304}{3600}} = \sqrt{0.000064} = 0.008
Büyük örneklemlerde tek kitle oranının standart hatası varyansın örneklem çapına bölümünün karekökü ile bulunur.
3
Kritik değeri belirle
%95\%95 güven düzeyi için α=0.05\alpha = 0.05 olur. Çift yönlü aralık olduğundan α/2=0.025\alpha/2 = 0.025 değeri aranır ve soruda verilen Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96 kullanılır.
Güven aralıkları daima dağılımın iki kuyruğuna hata payını eşit olarak paylaştırır.
4
Hata payını (Margin of Error - ME) hesapla
ME=Z0.025×SE=1.96×0.008=0.01568ME = Z_{0.025} \times SE = 1.96 \times 0.008 = 0.01568
Nokta tahmininden sapma miktarı, kritik değer ile standart hatanın çarpımı ile elde edilir.
5
Güven sınırlarını hesapla
Alt Sınır = 0.36−0.01568=0.34432≈0.34430.36 - 0.01568 = 0.34432 \approx 0.3443, Üst Sınır = 0.36+0.01568=0.37568≈0.37570.36 + 0.01568 = 0.37568 \approx 0.3757.
Nokta tahmininden hata payı çıkarılıp toplanarak sırasıyla alt ve üst sınırlar elde edilir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için asimptotik güven aralığı tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru