Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bir kalite standartları enstitüsü, organize sanayi bölgelerinde faaliyet gösteren KOBİ'lerin (Küçük ve Orta Büyüklükteki İşletmeler) çevre yönetim sistemi sertifikasına (ISO 14001) sahip olma oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen 64006400 işletme incelenmiş ve bu işletmelerden 40964096'sının ilgili sertifikaya sahip olduğu görülmüştür.

Buna göre, KOBİ'lerin çevre yönetim sistemi sertifikasına sahip olma oranı için %95\%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96 ve Z0.05=1.645Z_{0.05} = 1.645 alınız.)

  1. A
    [0.62040, 0.65960][0.62040, \ 0.65960]
  2. B
    [0.62355, 0.65645][0.62355, \ 0.65645]
  3. C
    [0.62530, 0.65470][0.62530, \ 0.65470]
  4. [0.62824, 0.65176][0.62824, \ 0.65176]Cevap
  5. E
    [0.63013, 0.64987][0.63013, \ 0.64987]

Cevap

İstenen %95\%95 güven aralığı [0.62824, 0.65176][0.62824, \ 0.65176]'dır.
Verilen verilerle örneklem oranı p^=40966400=0.64\hat{p} = \frac{4096}{6400} = 0.64 olarak bulunur. Standart hata formülü p^(1−p^)/n\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} üzerinden hesaplama yapıldığında 0.2304/6400=0.006\sqrt{0.2304/6400} = 0.006 elde edilir. %95\%95 güven düzeyi için çift yönlü test tablo değeri olan Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96, standart hata olan 0.0060.006 ile çarpılarak 0.011760.01176 hata payı bulunur. Nokta tahmini olan 0.640.64'ten bu hata payı çıkarılıp eklendiğinde [0.62824, 0.65176][0.62824, \ 0.65176] güven aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranını (p^\hat{p}) hesaplama.
p^=xn=40966400=0.64\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{4096}{6400} = 0.64
Güven aralığının merkezini belirlemek için başarı oranına (nokta tahminine) ihtiyaç vardır.
2
Kritik ZZ değerini belirleme.
Güven düzeyi %95\%95 (1−α=0.951 - \alpha = 0.95) olduğundan α=0.05\alpha = 0.05'tir. Çift yönlü aralık arandığı için Zα/2=Z0.025=1.96Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96 alınır.
Belirtilen güven düzeyinde kitle parametresini kapsama olasılığını sağlamak için uygun olan standart normal dağılım tablo değeri bulunmalıdır.
3
Standart hatayı (SE) hesaplama.
SE=p^(1−p^)n=0.64×0.366400=0.23046400=0.000036=0.006SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.64 \times 0.36}{6400}} = \sqrt{\frac{0.2304}{6400}} = \sqrt{0.000036} = 0.006
Örneklem oranının örnekleme dağılımındaki standart sapmasını (değişkenliğini) ölçmek gereklidir.
4
Hata payını (ME) ve güven aralığı sınırlarını hesaplama.
ME=1.96×0.006=0.01176ME = 1.96 \times 0.006 = 0.01176. Alt sınır: 0.64−0.01176=0.628240.64 - 0.01176 = 0.62824, Üst sınır: 0.64+0.01176=0.651760.64 + 0.01176 = 0.65176.
Örneklem oranına hata payı eklenip çıkarılarak kitle oranının içinde bulunacağı aralık elde edilir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için asimptotik güven aralığı
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru