Bir finansal risk analisti, belirli bir yatırım portföyündeki varlıkların günlük getiri or… — KPSS İstatistik

Bir finansal risk analisti, belirli bir yatırım portföyündeki varlıkların günlük getiri oranlarının (0 ile 1 arasında ölçeklendirilmiş) olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

ile modellendiğini varsaymaktadır.

Analist, bağımsız $n$ günlük rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) kullanarak, $\theta$ parametresi için $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezini, $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezine karşı test edecektir.

Neyman-Pearson lemmasına göre, bu test için en güçlü (en iyi) kritik bölge (red bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ sabit bir reel sayıdır.)

$\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c$ Cevap
B
$\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c$
C
$\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c$
D
$\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c$
E
$\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i) \leq c$

Cevap

Test için en güçlü kritik bölge

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

şeklinde ifade edilir.

Neyman-Pearson lemmasına göre en güçlü testin red bölgesi

\frac{L(H_1)}{L(H_0)} \geq k

şartı ile bulunur. Verilen dağılım için

L(2) = 2^n \prod_{i=1}^n X_i

L(1) = 1

'dir. Bu iki ifade oranlandığında

2^n \prod_{i=1}^n X_i \geq k

eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin iki tarafı

2^n

değerine bölündüğünde, sağ taraf yeni bir sabit değere (

c

) dönüşür ve sonuç

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

H_0

H_1

hipotezleri için olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını oluşturun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{\theta-1}

olmak üzere;

L(1) = 1

L(2) = 2^n \prod_{i=1}^n X_i

bulunur.

Neyman-Pearson lemması, testin gücünü maksimize etmek için iki hipotez altındaki olabilirlik fonksiyonlarının oranını kullanır.

Neyman-Pearson lemmasına göre red bölgesi eşitsizliğini kurun.

Red bölgesi:

\frac{L(H_1)}{L(H_0)} \geq k

olmalıdır.

En güçlü test, alternatif hipotezin (H1) yokluk hipotezine (H0) göre nispeten daha olası olduğu durumlarda H0'ı reddeder.

Eşitsizliği sadeleştirerek örneklem istatistiğini yalnız bırakın.

\frac{2^n \prod_{i=1}^n X_i}{1} \geq k \implies \prod_{i=1}^n X_i \geq \frac{k}{2^n}

elde edilir. Sağ taraf sabit olduğundan bu değere

c

diyebiliriz:

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

Test istatistiği olarak gözlemlerin çarpımı üzerinden daha pratik bir karar kuralı elde edilir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve En Güçlü Test

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru