Bir kamu kurumu uzmanı, 26 kalkınma bölgesine ait veriler (n = 26) kullanarak bölgesel işs… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumu uzmanı, 26 kalkınma bölgesine ait veriler ( $n = 26$ ) kullanarak bölgesel işsizlik oranını etkileyen faktörleri incelemektedir. Uzmanın tahmin ettiği birinci çoklu doğrusal regresyon modelinde (Model I) 5 bağımsız değişken ( $k = 5$ ) yer almaktadır. Bu modelin tahmini sonucunda Toplam Kareler Toplamı ( $SST$ ) 1000 ve Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) 400 olarak hesaplanmıştır.

Uzman daha sonra, analizini genişletmek amacıyla modele teorik olarak ilişkili olduğunu düşündüğü 4 yeni bağımsız değişken daha eklemiş ve toplam 9 bağımsız değişkenli ikinci bir model (Model II) tahmin etmiştir. Model II sonucunda Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) 340'a düşmüştür.

Bu iki modelin belirtme katsayısı ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) değerleri karşılaştırıldığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Model II'de belirtme katsayısı ( $R^2$ ) 0,60'tan 0,66'ya yükselmesine rağmen, serbestlik derecesindeki kaybın Hata Kareler Toplamındaki düşüşten daha baskın olması nedeniyle düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) azalarak 0,50'nin altına inmiştir.Cevap
B
Modele yeni değişkenlerin eklenmesiyle Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) 400'den 340'a azaldığı için, Model II'nin hem belirtme katsayısı ( $R^2$ ) hem de düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) Model I'e göre kesin olarak artış göstermiştir.
C
Hata varyansının serbestlik derecesi ceza katsayısı dikkate alınmadan doğrudan $n$ değerine bölündüğünde, Model II'nin düzeltilmiş belirleme katsayısı 0,66 çıkar ve bu nedenle Model II istatistiksel olarak tercih edilmelidir.
D
Model II sabit terim olmaksızın orijinden geçen bir model olarak kurulsaydı, elde edilecek olan yeni belirtme katsayısı ( $R^2$ ) Model I'in düzeltilmiş belirleme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) ile doğrudan karşılaştırılarak en iyi model seçimi yapılabilirdi.
E
Model II'ye eklenen 4 yeni değişkenin beklenen oranda varyansı açıklayamaması aşırı belirleme sorununa yol açmış ve En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin sapmalı (biased) hale gelmesine neden olmuştur.

Cevap

Model II'de belirtme katsayısı (

R^2

) artmasına rağmen serbestlik derecesindeki kaybın baskın olmasından dolayı düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) azalmıştır.

Düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

), modele eklenen değişkenlerin açıklama gücünü serbestlik derecesi kaybı ile cezalandırır. Model I'in hata varyansı

400 / 20 = 20

'dir. Model II'de hata varyansı

340 / 16 = 21,25

'e yükselmiştir. Hata varyansının artması, kaybedilen serbestlik derecesinin (

4

birim),

SSE

'deki

60

birimlik düşüşü gölgede bıraktığını gösterir. Bağımlı değişkenin toplam varyansı sabit olduğundan, hata varyansının artması matematiksel olarak

\bar{R}^2

'nin

0,50

'den yaklaşık

0,47

'ye düşmesine yol açar.

Adım Adım Çözüm

Model I için belirtme katsayısı (

R^2

) ve düzeltilmiş belirleme katsayısının (

\bar{R}^2

) hesaplanması

R^2 = 1 - (400 / 1000) = 0,60

\bar{R}^2 = 1 - \frac{400 / (26 - 5 - 1)}{1000 / (26 - 1)} = 1 - \frac{400 / 20}{1000 / 25} = 1 - \frac{20}{40} = 0,50

Model I'in açıklama gücünü ve serbestlik derecesi ile cezalandırılmış gerçek performansını (hata varyansını bağımlı değişken varyansına oranlayarak) bulmak.

Model II için belirtme katsayısının (

R^2

) hesaplanması

Yeni

SSE = 340

SST

sabittir (

1000

R^2 = 1 - (340 / 1000) = 0,66

Modele 4 yeni değişken eklendiğinde açıklanan varyans oranının nasıl değiştiğini görmek. R² değeri beklendiği gibi artmıştır.

Model II için düzeltilmiş belirleme katsayısının (

\bar{R}^2

) hesaplanması

Yeni serbestlik derecesi:

26 - 9 - 1 = 16

\bar{R}^2 = 1 - \frac{340 / 16}{1000 / 25} = 1 - \frac{21,25}{40} = 1 - 0,53125 = 0,46875

Yeni eklenen değişkenlerin

SSE

'de yarattığı düşüşün, kaybedilen serbestlik derecesini telafi edip edemediğini kontrol etmek.

Sonuçların kavramsal olarak karşılaştırılması

Model II'nin hata varyansı (

21,25

), Model I'in hata varyansından (

20

) daha büyüktür. Bu nedenle

R^2

artmış olsa da

\bar{R}^2

0,50'den yaklaşık 0,47'ye gerilemiştir.

Düzeltilmiş

R^2

, yalnızca modele eklenen yeni değişkenlerin t-istatistiği mutlak değerce 1'den büyükse (hata varyansını düşürüyorsa) artar. Burada hata varyansı arttığı için

\bar{R}^2

azalmıştır.

Anahtar Kavram

Belirleme (

R^2

) ve Düzeltilmiş Belirleme (

\bar{R}^2

) Katsayısı Arasındaki İlişki

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular