Examkin

Soru

Zorluk: Çok zor(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Uluslararası bir limanda, gelen konteynerlerin gemiye yüklenmesi için tek bir dev vinç kullanılmaktadır. Konteynerlerin vince varışları, saatte ortalama 1212 konteyner olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Bir konteynerin vinç tarafından gemiye yüklenme süresi ise 22 dakika ile 66 dakika arasında değişen sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir.

Buna göre, sistem kararlı durumdayken yükleme işlemi için kuyrukta bekleyen ortalama konteyner sayısı (LqL_q) kaçtır?

  1. A
    2415\frac{24}{15}
  2. 2615\frac{26}{15}Cevap
  3. C
    3615\frac{36}{15}
  4. D
    3815\frac{38}{15}
  5. E
    4815\frac{48}{15}

Cevap

Doğru yanıt 2615\frac{26}{15} değerini veren seçenektir.
Verilen problemde hizmet süresi genel (sürekli düzgün) bir dağılım izlediği için kuyruk yapısı M/G/1'dir. Gerekli zaman birimi dönüşümleri yapıldığında λ=1/5\lambda=1/5, E[S]=4E[S]=4 ve σ2=4/3\sigma^2=4/3 olarak bulunur. Bu parametrelerle ρ=4/5\rho = 4/5 elde edilir ve Pollaczek-Khinchine formülü olan Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} denkleminde yerine yazıldığında sonuç 2615\frac{26}{15} olarak hesaplanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda) parametresinin zaman birimini hizmet süresiyle uyumlu olacak şekilde dakikaya çeviriniz.
λ=12 konteyner/saat=1260=15 konteyner/dakika\lambda = 12 \text{ konteyner/saat} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \text{ konteyner/dakika}
Kuyruk modellerinde tüm zaman parametreleri aynı birim cinsinden ifade edilmelidir.
2
Hizmet süresi düzgün dağıldığı için ortalama hizmet süresini (E[S]E[S]) ve varyansını (σ2\sigma^2) hesaplayınız.
Ortalama E[S]=2+62=4 dakikaE[S] = \frac{2+6}{2} = 4 \text{ dakika}. Varyans σ2=(6−2)212=1612=43 dakika2\sigma^2 = \frac{(6-2)^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \text{ dakika}^2.
M/G/1 modelinde Pollaczek-Khinchine formülü için hizmet süresinin beklenen değerine ve varyansına ihtiyaç vardır.
3
Sistem kullanım oranını (ρ\rho) hesaplayınız.
ρ=λ×E[S]=15×4=45=0.8\rho = \lambda \times E[S] = \frac{1}{5} \times 4 = \frac{4}{5} = 0.8. (ρ<1\rho < 1 olduğu için sistem kararlıdır).
Kuyruk uzunluğunu formülize edebilmek için trafik yoğunluğunun bilinmesi gerekir.
4
Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünü kullanarak kuyrukta bekleyen ortalama müşteri (konteyner) sayısını (LqL_q) bulunuz.
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=(1/25)(4/3)+(16/25)2(1−4/5)=4/75+48/752/5=52/752/5=5275×52=2615L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{(1/25)(4/3) + (16/25)}{2(1-4/5)} = \frac{4/75 + 48/75}{2/5} = \frac{52/75}{2/5} = \frac{52}{75} \times \frac{5}{2} = \frac{26}{15}
Hizmet süreleri üstel dağılmadığı (genel bir dağılıma sahip olduğu) için M/M/1 yerine M/G/1 kuyruk uzunluğu formülü uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü Uygulaması
Bu soruyu puanla

Konular

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bu konudan daha fazla soru