Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda tek bir hızlı şarj ünitesi bulunmaktadır. İstasyonun fiziksel alan kısıtlaması nedeniyle, şarj işlemi devam eden araç dâhil olmak üzere sistemde aynı anda en fazla 33 aracın bulunmasına izin verilmektedir. Kapasite dolduğunda gelen araçlar bekleme yapamadan istasyondan ayrılmaktadır.

İstasyona araç varışları saatte ortalama 22 araç olacak şekilde Poisson dağılımına uymakta, bir aracın şarj edilme süresi ise ortalama 1515 dakika olup üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre, istasyona şarj için gelen bir aracın sistem kapasitesinin dolu olması sebebiyle istasyona giremeden ayrılma olasılığı kaçtır?

  1. A
    114\frac{1}{14}
  2. B
    18\frac{1}{8}
  3. 115\frac{1}{15}Cevap
  4. D
    215\frac{2}{15}
  5. E
    815\frac{8}{15}

Cevap

Sisteme gelen bir aracın geri dönme olasılığı (sistemin dolu olma durumu olan P3P_3) 115\frac{1}{15} değeridir.
Verilen (M/M/1/K) kuyruk probleminde varış hızı λ=2\lambda = 2, hizmet hızı μ=4\mu = 4 ve kapasite K=3K = 3'tür. Trafik yoğunluğu ρ=12\rho = \frac{1}{2}'dir. Sisteme gelen bir müşterinin içeri girememesi, sistemin tamamen dolu (n=3n=3) olması anlamına gelir. ρ≠1\rho \neq 1 iken PKP_K formülü PK=(1−ρ)ρK1−ρK+1P_K = \frac{(1-\rho)\rho^K}{1-\rho^{K+1}} şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında hesaplama 1/1615/16\frac{1/16}{15/16} şeklinde sadeleşir ve sonuç 115\frac{1}{15} çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyruk modelinin temel parametrelerini (varış hızı, hizmet hızı ve sistem kapasitesi) ortak bir zaman birimi üzerinden belirle.
Araç varış hızı λ=2\lambda = 2 araç/saat. Bir aracın şarj süresi 1515 dakika olduğundan, bir saatte hizmet verilen araç sayısı μ=6015=4\mu = \frac{60}{15} = 4 araç/saat. Sistem kapasitesi K=3K = 3.
Kuyruk formüllerinde λ\lambda ve μ\mu parametrelerinin aynı zaman birimine (örneğin saat) dönüştürülmesi zorunludur.
2
Sistemin trafik yoğunluğunu (ρ\rho) hesapla.
ρ=λμ=24=12\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} olarak bulunur.
(M/M/1/K) modelinde sistem olasılıklarının formülü ρ\rho'nun 11'e eşit olup olmamasına göre değişmektedir.
3
ρ≠1\rho \neq 1 durumu için, kapasitenin tam dolu olduğu durumun (n=Kn=K) olasılığını hesapla.
PK=(1−ρ)ρK1−ρK+1P_K = \frac{(1-\rho)\rho^K}{1-\rho^{K+1}} formülünde değerleri yerine koyarsak: P3=(1−1/2)(1/2)31−(1/2)4=(1/2)⋅(1/8)1−1/16=1/1615/16=115P_3 = \frac{(1 - 1/2)(1/2)^3}{1 - (1/2)^4} = \frac{(1/2) \cdot (1/8)}{1 - 1/16} = \frac{1/16}{15/16} = \frac{1}{15} elde edilir.
Sistem kapasitesi 33 araç ile sınırlı olduğundan, 3.3. aracın sistemde olduğu anlarda gelen yeni araçlar kuyruğa giremez ve istasyondan ayrılır (engellenme olasılığı).

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Modelde Engellenme Olasılığı (Blocking Probability)
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru