Examkin

Soru

Zorluk: ZorDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Karar vericiler tarafından analiz edilen ve üç farklı faaliyetin incelendiği bir optimizasyon probleminin doğrusal programlama primal modeli aşağıda verilmiştir:

Maks Z=10x1−5x2+12x3Kısıtlar:4x1−2x2+x3≤50x1+3x2−2x3≥30x1,x3≥0x2 is¸aretsiz\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 10x_1 - 5x_2 + 12x_3 \\ \text{Kısıtlar:} & \\ 4x_1 - 2x_2 + x_3 &\leq 50 \\ x_1 + 3x_2 - 2x_3 &\geq 30 \\ x_1, x_3 &\geq 0 \\ x_2 &\text{ işaretsiz} \end{aligned}

Buna göre, verilen primal modele ait dual model aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Min W=50y1+30y24y1+y2≥10−2y1+3y2=−5y1−2y2≥12y1≥0,y2≤0\begin{aligned} \text{Min } W &= 50y_1 + 30y_2 \\ 4y_1 + y_2 &\geq 10 \\ -2y_1 + 3y_2 &= -5 \\ y_1 - 2y_2 &\geq 12 \\ y_1 \geq 0&, y_2 \leq 0 \end{aligned}Cevap
  2. B
    Min W=50y1+30y24y1+y2≥10−2y1+3y2=−5y1−2y2≥12y1≥0,y2≥0\begin{aligned} \text{Min } W &= 50y_1 + 30y_2 \\ 4y_1 + y_2 &\geq 10 \\ -2y_1 + 3y_2 &= -5 \\ y_1 - 2y_2 &\geq 12 \\ y_1 \geq 0&, y_2 \geq 0 \end{aligned}
  3. C
    Min W=50y1+30y24y1+y2≤10−2y1+3y2=−5y1−2y2≤12y1≥0,y2≤0\begin{aligned} \text{Min } W &= 50y_1 + 30y_2 \\ 4y_1 + y_2 &\leq 10 \\ -2y_1 + 3y_2 &= -5 \\ y_1 - 2y_2 &\leq 12 \\ y_1 \geq 0&, y_2 \leq 0 \end{aligned}
  4. D
    Min W=50y1+30y24y1+y2≥10−2y1+3y2≥−5y1−2y2≥12y1≥0,y2≤0\begin{aligned} \text{Min } W &= 50y_1 + 30y_2 \\ 4y_1 + y_2 &\geq 10 \\ -2y_1 + 3y_2 &\geq -5 \\ y_1 - 2y_2 &\geq 12 \\ y_1 \geq 0&, y_2 \leq 0 \end{aligned}
  5. E
    Maks W=50y1+30y24y1+y2≤10−2y1+3y2=−5y1−2y2≤12y1≥0,y2≤0\begin{aligned} \text{Maks } W &= 50y_1 + 30y_2 \\ 4y_1 + y_2 &\leq 10 \\ -2y_1 + 3y_2 &= -5 \\ y_1 - 2y_2 &\leq 12 \\ y_1 \geq 0&, y_2 \leq 0 \end{aligned}

Cevap

Doğru dual model, amaç fonksiyonunun 'Min W' olduğu, ikinci dual kısıtın eşitlik (=) içerdiği ve ikinci dual değişkenin sıfırdan küçük veya eşit (y2 <= 0) olduğu modeldir.
Primal model bir maksimizasyon problemidir. Dualite kurallarına göre: 1) Model minimizasyon (Min) olmalıdır. 2) Birinci kısıt (<=) olduğu için y1 >= 0 olmalıdır. İkinci kısıt (>=) olduğu için y2 <= 0 olmalıdır. 3) x1 ve x3 (>= 0) olduğu için dualde kendilerine karşılık gelen 1. ve 3. kısıtlar (>=) olmalıdır. 4) x2 işaretsiz olduğu için, 2. dual kısıt kesinlikle bir eşitlik (=) olmalıdır. Tüm bu şartları eksiksiz sağlayan tek model doğru cevaptaki modeldir.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunun yönünü ve değerlerini belirleme.
Primal (Maks) -> Dual (Min) olur. Sağ taraf sabitleri (50 ve 30) amaç fonksiyonu katsayıları olur: Min W = 50y1 + 30y2.
Primal ve dual modellerin optimizasyon yönleri her zaman birbirinin tersidir. Primal kısıtların sağ taraf sabitleri, dualin amaç katsayılarıdır.
2
Dual değişkenlerin (y1, y2) işaretlerini belirleme.
1. kısıt (<=) olduğu için y1 >= 0 olur. 2. kısıt (>=) olduğu için y2 <= 0 olur.
Maksimizasyon probleminde, standart kısıt (<=) standart değişken (>= 0) üretir. Standart dışı kısıt (>=) ise standart dışı değişken (<= 0) üretir.
3
Dual kısıtların yönlerini belirleme.
x1 >= 0 -> 1. kısıt (>=) olur. x2 işaretsiz -> 2. kısıt (=) olur. x3 >= 0 -> 3. kısıt (>=) olur.
Minimizasyon dualinde, primaldeki pozitif değişkenler (>= 0) standart kısıt olan (>=) üretir. İşaretsiz değişkenler ise daima eşitlik (=) kısıtı üretir.
4
Katsayı matrisinin transpozunu alarak dual modeli tamamlama.
1. Kısıt: 4y1 + 1y2 >= 10
2. Kısıt: -2y1 + 3y2 = -5
3. Kısıt: 1y1 - 2y2 >= 12
Primal modeldeki değişken katsayıları sütunları, dual modelin satırlarını (kısıtlarını) oluşturur.

Anahtar Kavram

Asimetrik Dualite Kuralları ve İşaretsiz Değişkenler
Bu soruyu puanla

Konular

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bu konudan daha fazla soru