Examkin

Soru

Zorluk: Çok zor(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir İl Göç İdaresi Müdürlüğünde, ikamet izni başvurularını değerlendirmek üzere 22 adet özdeş onay masası bulunmaktadır. Masalardaki her bir memur saatte ortalama 33 başvuruyu sonuçlandırabilmektedir. Müdürlüğe başvuru için gelen kişilerin geliş süreci saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Başvuruların değerlendirilme süreleri ise üstel dağılıma sahiptir.

Sistem kararlı duruma ulaştığında, başvuru için gelen bir kişinin sırada (kuyrukta) beklediği ortalama süre kaç dakikadır?

  1. 16Cevap
  2. B
    20
  3. C
    32
  4. D
    36
  5. E
    40

Cevap

Başvuru için gelen bir kişinin sırada beklediği ortalama süre 16 dakikadır.
Verilen (M/M/2) modelinde varış hızı λ=4 ve hizmet hızı μ=3 iken sistemin boşta kalma olasılığı P0 = 1/5'tir. Buradan kuyruk uzunluğu Lq = 16/15 kişi bulunur. Little Teoremi (Wq = Lq / λ) gereği saat cinsinden bekleme süresi 4/15'tir. Bu değerin 60 ile çarpılmasıyla kuyrukta bekleme süresi tam olarak 16 dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyruk sistemi parametrelerini ve sistemin kararlılığını belirleyin.
Geliş hızı λ=4\lambda = 4 kişi/saat, hizmet hızı μ=3\mu = 3 kişi/saat, kanal sayısı c=2c = 2. Sistem kullanım oranı ρ=λcμ=42×3=46=23\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. ρ<1\rho < 1 olduğundan sistem kararlıdır.
Performans ölçütlerini hesaplayabilmek için öncelikle ortak birimdeki hızların ve sistem dengesinin saptanması gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplayın.
P0=[∑n=0c−1(λ/μ)nn!+(λ/μ)cc!(11−ρ)]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!} \left( \frac{1}{1 - \rho} \right) \right]^{-1} P0=[1+4/31!+(4/3)22!(11−2/3)]−1P_0 = \left[ 1 + \frac{4/3}{1!} + \frac{(4/3)^2}{2!} \left( \frac{1}{1 - 2/3} \right) \right]^{-1} P0=[1+43+16/92×3]−1=[1+43+83]−1=[1+123]−1=15P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{16/9}{2} \times 3 \right]^{-1} = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{8}{3} \right]^{-1} = \left[ 1 + \frac{12}{3} \right]^{-1} = \frac{1}{5}
Çok kanallı kuyruk modellerinde tüm performans göstergeleri, sistemde hiç müşteri olmama olasılığına (P0P_0) bağlıdır.
3
Kuyrukta bekleyen ortalama başvuru sayısını (LqL_q) bulun.
Lq=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=15×(43)2×(23)2!×(1−23)2=15×169×232×19L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1-\rho)^2} = \frac{\frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)}{2! \times \left(1 - \frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{16}{9} \times \frac{2}{3}}{2 \times \frac{1}{9}} Lq=3213529=32135×92=1615 kis¸iL_q = \frac{\frac{32}{135}}{\frac{2}{9}} = \frac{32}{135} \times \frac{9}{2} = \frac{16}{15} \text{ kişi}
Little Teoremine göre bekleme süresini bulmak için önce sırada bekleyen ortalama müşteri sayısını bilmek gerekir.
4
Sırada bekleme süresini (WqW_q) saat cinsinden hesaplayıp dakikaya çevirin.
Wq=Lqλ=16/154=415 saatW_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{16/15}{4} = \frac{4}{15} \text{ saat} Wq (dakika)=415×60=16 dakikaW_q \text{ (dakika)} = \frac{4}{15} \times 60 = 16 \text{ dakika}
Soru kökünde sonucun dakika cinsinden istendiği açıkça belirtilmiştir. Bulunan saat değeri 60 ile çarpılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Bekleme Hattı Performans Ölçütleri
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru