Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Bir araştırmacı, n=120n=120 gözlem kullanarak YY bağımlı değişkenini X1X_1, X2X_2 ve X3X_3 açıklayıcı değişkenleriyle modelleyen bir çoklu doğrusal regresyon denklemini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Araştırmacı, tanısal testleri uyguladıktan sonra araştırma raporuna şu notu düşmüştür:

*"Modeldeki açıklayıcı değişkenler arasında yüksek derecede çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) saptanmıştır. Bu problemin bir sonucu olarak, EKK tahmin edicileri sapmalı (biased) hâle gelmiş ve Gauss-Markov teoremine göre 'en iyi' (minimum varyanslı) tahmin edici olma özelliğini yitirmiştir."*

Araştırmacının bu değerlendirmesinin istatistiksel geçerliliği üzerine aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur?

  1. Çoklu doğrusal bağlantı, EKK tahmin edicilerinin standart hatalarını büyüterek güven aralıklarını genişletse de; tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini korur ve doğrusal sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde hâlâ en küçük varyansa (BLUE) sahip olmaya devam eder.Cevap
  2. B
    Araştırmacının tahmin edicilerin sapmalı hâle geldiği tespiti doğrudur; çünkü bağımsız değişkenler arasındaki yüksek korelasyon, modelde eksik değişken bırakılmış gibi davranarak hata terimi ile açıklayıcı değişkenler arasında bir ilişki yaratır.
  3. C
    Çoklu doğrusal bağlantı durumunda tahmin ediciler sapmasız kalsalar da, araştırmacının da belirttiği gibi varyansları minimum olma özelliğini yitirir ve Gauss-Markov teoreminin 'etkinlik' şartı kalıcı olarak ihlal edilmiş olur.
  4. D
    Araştırmacının ulaştığı sonuçlar kısmen hatalıdır; çoklu doğrusal bağlantı katsayıları sapmalı yapmaz ancak modelin genel anlamlılığını test eden F istatistiğini düşürürken, bireysel parametrelere ait t istatistiklerini yapay olarak yükseltir.
  5. E
    Çoklu doğrusal bağlantı durumunda EKK tahmin edicileri sapmasızdır, ancak varyanslarının hesaplanmasında kullanılan hata kareler ortalamasının serbestlik derecesi n−kn-k yerine hatalı şekilde n−1n-1 olarak alınırsa araştırmacının iddia ettiği sapmalı sonuçlar elde edilir.

Cevap

Çoklu doğrusal bağlantının, EKK tahmin edicilerinin standart hatalarını büyüteceğini ancak sapmasızlıklarını bozmayacağını ve tahmin edicilerin hâlâ BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici) özelliğini koruduğunu belirten ifade doğrudur.
Çoklu doğrusal bağlantı problemi, açıklayıcı değişkenlerin kendi aralarındaki yüksek korelasyondan kaynaklanır. Bu durum Gauss-Markov varsayımlarından hiçbirini (özellikle hata terimlerine ilişkin olanları) ihlal etmez. Dolayısıyla EKK tahmin edicileri teorik olarak sapmasızlık özelliğini sürdürür. Standart hataların (varyansların) şişmesine rağmen, elde edilen bu varyanslar hâlâ doğrusal ve sapmasız tüm alternatif tahmin edicilerin varyanslarından daha küçüktür. Yani tahmin edici BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) olma vasfını korur.

Adım Adım Çözüm

1
Çoklu doğrusal bağlantının (multicollinearity) doğasını ve etkilediği bileşenleri incele.
Çoklu doğrusal bağlantı veri matrisi (XX) içindeki sütunların birbiriyle yüksek korelasyonlu olması durumudur; hata teriminin (ε\varepsilon) özelliklerini bozmaz.
Gauss-Markov teoreminin temel varsayımları hata teriminin dağılımı ve beklenen değeri üzerine kuruludur. Bağımsız değişkenlerin kendi aralarındaki ilişkiler tam doğrusal (perfect collinearity) olmadığı sürece varsayımlar geçerlidir.
2
EKK tahmin edicilerinin sapmasızlık özelliğini değerlendir.
Hata teriminin beklenen değeri sıfır olduğu (E(ε)=0E(\varepsilon)=0) varsayımı korunduğu için EKK tahmin edicileri sapmasız (unbiased) olmaya devam eder.
Matematiksel olarak E(β^)=β+(X′X)−1X′E(ε)E(\hat{\beta}) = \beta + (X'X)^{-1}X'E(\varepsilon)'dir. İçsellik yoksa bu beklenen değer parametrenin gerçek değerine eşittir.
3
EKK tahmin edicilerinin etkinlik ('en iyi' olma / BLUE) durumunu analiz et.
Tahmin edicilerin standart hataları büyür ancak hâlâ tüm doğrusal sapmasız tahmin ediciler arasında en düşük varyanslı olma özelliğini (BLUE) korurlar.
Varyansın şişmesi, varyansın artık 'minimum' olmadığı anlamına gelmez. Verilen elverişsiz veri yapısı (X′XX'X matrisi) ile oluşturulabilecek doğrusal sapmasız tahmin ediciler içinde hâlâ en iyisi EKK'dır.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Bağlantının Gauss-Markov Özelliklerine Etkisi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Bu konudan daha fazla soru