Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde çalışan bir uzman, hanehalkı tüketim harcamalarındaki aylık oransal değişimlerin (sürekli bir rassal değişken), parametreleri μ=0\mu=0 ve σ2=1\sigma^2=1 olarak önceden kesin bir şekilde tanımlanmış standart normal dağılıma (N(0,1)N(0,1)) uyup uymadığını Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi ile araştırmaktadır. Bu analize göre kurulan yokluk hipotezi (H0H_0), örneklemin çekildiği evrenin birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik standart normal birikimli dağılım fonksiyonunun birebir aynı olduğunu varsaymaktadır.

Testin mekanizması, test istatistiğinin (DD) matematiksel doğası ve testin temel uygulama varsayımları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

  1. Test istatistiği (DD), ampirik birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik standart normal birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki mutlak farkların en büyük (supremum) değeri bulunarak elde edilir; şayet dağılım parametreleri önceden bilinmeyip doğrudan örneklemden tahmin edilseydi, standart kritik değerler geçerliliğini yitireceğinden bu test yerine Lilliefors düzeltmesinin kullanılması gerekirdi.Cevap
  2. B
    Test istatistiği (DD), ampirik dağılım ile teorik dağılım arasındaki mutlak farkların aritmetik ortalamasını ifade eder ve örneklem hacmi küçüldükçe (n<30n < 30) normalliğin sınanmasında Kolmogorov-Smirnov testi, Shapiro-Wilk testine kıyasla daima daha yüksek istatistiksel güce sahiptir.
  3. C
    Kolmogorov-Smirnov testinin asimptotik olarak geçerli olabilmesi için, Ki-kare uyum iyiliği testine benzer şekilde, verilerin sınıflandırıldığı frekans tablosundaki her bir sınıf aralığına düşen beklenen teorik gözlem sayısının en az 5 olması zorunluluğu bulunmaktadır.
  4. D
    Sürekli dağılımların uygunluk testlerinde evren parametrelerinin örneklem istatistikleri üzerinden tahmin edilmesi Kolmogorov-Smirnov testinin gücünü artırdığından, normallik sınamalarında evren parametreleri bilinse dahi ampirik örneklem tahmincilerinin kullanılması teorik olarak tercih edilmelidir.
  5. E
    Yokluk hipotezi (H0H_0) reddedildiğinde, örneklemin çekildiği evrenin sadece normal dağılıma değil, aynı zamanda çarpıklık katsayısı sıfır olan tüm teorik simetrik dağılımlara da istatistiksel olarak uymadığı sonucuna kesin olarak varılır.

Cevap

Doğru ifade, D istatistiğinin ampirik ve teorik dağılım arasındaki en büyük mutlak fark (supremum) olduğunu ve parametrelerin örneklemden tahmin edilmesi durumunda standart Kolmogorov-Smirnov (K-S) testi yerine Lilliefors düzeltmesinin kullanılması gerektiğini belirten seçenektir.
İstatistiksel olarak, standart Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin en temel bileşeni, test istatistiği (DD)'nin D=sup⁡x∣Sn(x)−F0(x)∣D = \sup_x |S_n(x) - F_0(x)| formülüyle hesaplanmasıdır; yani mutlak farkların en büyüğüdür. Bununla beraber K-S testinin temel şartı teorik dağılımın ve parametrelerinin (örneğin μ\mu ve σ2\sigma^2) tam olarak bilinmesidir. Parametreler örneklemden hesaplanıp yerine konursa, dağılımın kuyruk olasılıkları değişeceğinden standart tablo değerleri kullanılamaz; bu sorunu çözmek için Kolmogorov-Smirnov'un modifikasyonu olan Lilliefors testi geliştirilmiştir. Doğru seçenek bu iki kritik akademik bilgiyi eş zamanlı olarak ve eksiksiz biçimde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) testinin yokluk hipotezini (H0H_0) ve çalışma prensibini analiz etmek.
K-S testi, evren dağılımının önceden parametreleriyle birlikte tamamen belirlenmiş teorik bir dağılıma uyup uymadığını sınar. Temeli ampirik ve teorik birikimli dağılım fonksiyonlarının karşılaştırılmasına dayanır.
Testin doğasını ve hipotez sınırlarını belirlemek için temel tanımın hatırlanması şarttır.
2
K-S test istatistiğinin (DD) matematiksel olarak nasıl hesaplandığını değerlendirmek.
DD istatistiği, Sn(x)S_n(x) (ampirik birikimli) ile F0(x)F_0(x) (teorik birikimli) fonksiyonları arasındaki dikey farkların mutlak değerce en büyüğüdür (supremum). Aritmetik ortalama veya varyans oranı değildir.
Çeldirici seçeneklerde yer alan 'farkların aritmetik ortalaması' gibi yaygın kavram yanılgılarını elemek için DD'nin kesin formülü bilinmelidir.
3
Normallik testlerinde K-S'nin sınırlılıklarını ve Lilliefors düzeltmesi ilişkisini irdelemek.
Eğer μ\mu ve σ2\sigma^2 önceden bilinmeyip (N(0,1)N(0,1) gibi verilmek yerine) örneklem verisinden hesaplanırsa, standart K-S tablosundaki kritik değerler geçersiz olur. Bu spesifik durum için K-S testinin modifikasyonu olan Lilliefors testi kullanılır.
Sorunun en yüksek ayırt ediciliğe sahip bölümü, test seçiminin parametre tahminine bağlı olarak nasıl değiştiğini kavramayı gerektirir.

Anahtar Kavram

Kolmogorov-Smirnov Test İstatistiğinin Hesaplanması ve Parametre Tahmininin Test Üzerindeki Etkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Bu konudan daha fazla soru