Tek Örneklem Testleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir finansal analist, piyasaya yeni sürülen bir yatırım fonunun son $150$ günlük getiri oranlarının normal dağılıma uyup uymadığını incelemek istemektedir. Analist, fonun getirilerine ait anakütle ortalamasını ve varyansını bilmemekte; bu parametreleri elindeki $150$ birimlik örneklem verisinden tahmin etmek zorundadır.

Buna göre, analistin normallik varsayımını sınamak için kurması gereken sıfır hipotezi ( $H_0$ ) ve tercih etmesi gereken en uygun test aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

H_0

: Getiri oranları normal dağılıma uygundur. (Lilliefors Testi)

H_0

: Getiri oranları normal dağılıma uygundur. (Standart Kolmogorov-Smirnov Testi)

H_0

: Getiri oranları normal dağılıma uygun değildir. (Lilliefors Testi)

H_0

: Getiri oranları normal dağılıma uygundur. (Shapiro-Wilk Testi)

H_0

: Getiri oranları normal dağılıma uygun değildir. (Ki-Kare Uyum İyiliği Testi)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0$ : Getiri oranları normal dağılıma uygundur. (Lilliefors Testi)

Cevap

Sıfır hipotezinin verilerin normal dağılıma uygun olduğunu savunduğu ve parametre tahmininden dolayı Lilliefors testinin seçildiği eşleştirme doğrudur.

Normallik testlerinde sıfır hipotezi (

H_0

) daima verilerin normal dağılıma uygun olduğunu iddia eder. Anakütle parametreleri bilinmeyip örneklem verisinden tahmin edildiğinde standart Kolmogorov-Smirnov testi geçerliliğini yitirir. Bu özel durum için en uygun ve güçlü yöntem, parametre tahminini hesaba katan Lilliefors testidir.

Adım Adım Çözüm

1

Sıfır hipotezinin (

H_0

) yönünü belirleme.

H_0

: Getiri oranları normal dağılıma uygundur.

Uyum iyiliği ve normallik testlerinde sıfır hipotezi, her zaman örneklem dağılımının beklenen teorik dağılım ile (bu senaryoda normal dağılım) eşleştiğini varsayar.

2

Örneklem büyüklüğü ve anakütle parametreleri bilgisini değerlendirme.

Örneklem büyüklüğü

n = 150

(büyük) ve anakütle parametreleri (ortalama, varyans) örneklem verisinden tahmin edilmektedir.

Normallik testinin doğru seçimi için örneklem hacmi ve parametrelerin bilinip bilinmediği kritik belirleyicilerdir.

3

Koşullara en uygun istatistiksel testi seçme.

Lilliefors Testi seçilir.

Standart Kolmogorov-Smirnov testi yalnızca parametreler kesin olarak bilindiğinde geçerlidir. Parametreler örneklemden tahmin edildiğinde K-S testinin gücü düşer ve bunun yerine Lilliefors düzeltmeli versiyonu kullanılır.

Anahtar Kavram

Lilliefors Testi Kullanım Koşulları ve Normallik Hipotezi

Soru 2Soru →

Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) aktüerya departmanında çalışan bir uzman, emeklilik başvurusu onay sürelerinin (gün cinsinden hesaplanan sürekli bir veri, $n=120$ ) normal dağılıma uyup uymadığını incelemektedir. Dağılımın kitle ortalaması ve varyansı önceden bilinmediğinden, uzman bu parametreleri mevcut örneklem verilerinden tahmin etmiştir. Daha sonra, teorik yığılımlı dağılım fonksiyonu $F_0(x)$ ile ampirik (gözlenen) yığılımlı dağılım fonksiyonu $S_n(x)$ arasındaki karşılaştırmaya dayanan Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testini uygulamıştır. Testin sonucunda elde edilen $D = \max |S_n(x) - F_0(x)|$ istatistiğini, standart Kolmogorov-Smirnov tablo kritik değerleriyle kıyaslayarak $H_0$ : 'Örneklem verilerinin çekildiği kitle dağılımı ile normal dağılım arasında fark yoktur' hipotezini sınamıştır.

Bu uzmanın izlediği istatistiksel sınama süreci ve Kolmogorov-Smirnov testinin varsayımları dikkate alındığında, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

Süreç hatalıdır; Kolmogorov-Smirnov testinde

H_0

hipotezi parametreleri önceden tamamen bilinen spesifik bir teorik dağılım için kurulur. Parametreler örneklemden tahmin edildiğinde standart tablo değerleri geçerliliğini yitirir ve Lilliefors düzeltmesi kullanılmalıdır.

Süreç hatalıdır; uyum iyiliği testlerinde

S_n(x)

ve

F_0(x)

fonksiyonları doğrudan karşılaştırılamaz, sürekli veriler mutlaka aralıklara bölünüp beklenen frekanslar hesaplanarak Ki-Kare testi uygulanmalıdır.

Süreç doğrudur; ancak

H_0

hipotezini sınamak için kullanılan

D

istatistiği, iki dağılım arasındaki maksimum mutlak fark olarak değil, tüm gözlem noktalarındaki farkların aritmetik ortalaması olarak hesaplanmalıydı.

Süreç hatalıdır;

n=120

gibi büyük örneklemlerde Merkezi Limit Teoremi gereği kitle dağılımı otomatik olarak normal dağılıma yakınsadığı için, normallik varsayımının

S_n(x)

tabanlı bir testle sınanmasına gerek yoktur.

Süreç bütünüyle doğrudur; Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi,

H_0

hipotezini sınarken kitle parametrelerinin örneklemden tahmin edilmesine her durumda izin verir ve standart test istatistiği dağılımı değişmez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç hatalıdır; Kolmogorov-Smirnov testinde $H_0$ hipotezi parametreleri önceden tamamen bilinen spesifik bir teorik dağılım için kurulur. Parametreler örneklemden tahmin edildiğinde standart tablo değerleri geçerliliğini yitirir ve Lilliefors düzeltmesi kullanılmalıdır.

Cevap

Süreç hatalıdır; Kolmogorov-Smirnov testinde

H_0

hipotezi parametreleri önceden tamamen bilinen spesifik bir teorik dağılım için kurulur. Parametreler örneklemden tahmin edildiğinde standart tablo değerleri geçerliliğini yitirir ve Lilliefors düzeltmesi kullanılmalıdır.

Doğru yanıt, Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin en kritik varsayımını tespit etmektedir:

H_0

hipotezi tamamen tanımlanmış bir teorik dağılım üzerine kurulur. Eğer

\mu

ve

\sigma

gibi kitle parametreleri örneklemden tahmin ediliyorsa, ampirik dağılım teorik dağılıma matematiksel olarak daha yakın çıkar. Bu durumda standart K-S tablo değerleri kullanılırsa, gerçekte reddedilmesi gereken bir

H_0

hipotezi yanlışlıkla kabul edilebilir. Bu spesifik senaryoda normallik testi için Lilliefors düzeltmesi veya Shapiro-Wilk testi uygulanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Kolmogorov-Smirnov testinin temel varsayımlarını değerlendirmek.

K-S testinde

H_0

hipotezinin, test edilecek dağılımın tüm parametrelerinin (örneğin

\mu

ve

\sigma

) dışsal olarak, yani analiz öncesinde kesin olarak bilindiğini varsaydığı tespit edilir.

Test istatistiğinin standart kritik değer tabloları bu kesinlik varsayımına göre oluşturulmuştur.

2

Uzmanın parametre belirleme yöntemini incelemek.

Uzman, ortalama ve varyansı a priori olarak bilmediği için bu değerleri elindeki 120 birimlik örneklem verisinden tahmin etmiştir.

Soruda 'uzman bu parametreleri mevcut örneklem verilerinden tahmin etmiştir' şeklinde açıkça belirtilmiştir.

3

Parametre tahmininin standart tablo değerleri üzerindeki etkisini belirlemek.

Parametreler veriden tahmin edildiğinde,

S_n(x)

ile

F_0(x)

birbirine yapay olarak daha çok yaklaşır ve standart

D

tablo değerleri kullanıldığında Tip II hata (yanlış

H_0

'ı kabul etme) riski artar. Bu durumu düzeltmek için Lilliefors düzeltmesi kullanılmalıdır.

K-S testinin geçerlilik kurallarının ihlal edilmesini önlemek ve doğru istatistiksel karara varmak içindir.

Anahtar Kavram

Standart Kolmogorov-Smirnov Testinin Varsayımları ve Lilliefors Düzeltmesi

Alternatif Yöntem

Büyük örneklemlerde normallik sınaması için parametrelerin tahminine duyarlı olan Lilliefors testinin yanı sıra, çarpıklık ve basıklık katsayılarına dayalı Jarque-Bera testi veya grafiksel yöntemler (Q-Q plot) de kullanılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunun halkla ilişkiler birimi, hafta içi beş iş günü boyunca vatandaşlardan gelen başvuru sayılarının günlere göre homojen (düzgün) bir dağılım sergileyip sergilemediğini araştırmak istemektedir. $200$ başvurudan oluşan bir örneklemde elde edilen veriler aşağıda sunulmuştur:

Gün	Başvuru Sayısı ( $O_i$ )
Pazartesi	$45$
Salı	$35$
Çarşamba	$50$
Perşembe	$30$
Cuma	$40$

Bu verilere dayanarak yapılacak Ki-kare uyum iyiliği testi için hesaplanması gereken test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6,25

4,00

5,00

0,00

7,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6,25

Cevap

Ki-kare uyum iyiliği testi için hesaplanan test istatistiği değeri

6,25

olarak bulunur.

Verilen

200

gözlem

5

kategoriye eşit dağıtıldığında beklenen frekans her gün için

40

olur. Gözlenen değerler ile bu beklenen değer arasındaki farkların karelerinin beklenen değere oranlarının toplamı (

\sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}

) tam olarak

6,25

değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) hesaplanması

E_i = 40

Homojen dağılım varsayımı altında, toplam

200

başvurunun

5

güne eşit dağılması beklenir:

200 / 5 = 40

.

2

Her bir kategori için

(O_i - E_i)^2 / E_i

değerlerinin hesaplanması

Pazartesi:

0,625

; Salı:

0,625

; Çarşamba:

2,5

; Perşembe:

2,5

; Cuma:

0

Gözlenen frekanslar ile beklenen frekanslar arasındaki sapmaların normalize edilmiş kareleri bulunur.

3

Değerlerin toplanarak Ki-kare (

\chi^2

) istatistiğinin bulunması

\chi^2 = 0,625 + 0,625 + 2,5 + 2,5 + 0 = 6,25

Ki-kare uyum iyiliği test formülü gereği tüm kategorilerin katkısı toplanır.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği Hesaplama

Daha Fazla Pratik

Serbestlik derecesi ve anlamlılık düzeyi verildiğinde hipotez testinin nasıl sonuçlandırılacağı üzerine çalışılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Bir araştırmacı, bir kamu kurumunda çalışan personelin hizmet sürelerinin (yıl) belirli bir kuramsal dağılıma (örneğin normal dağılım) uygun olup olmadığını incelemek istemektedir. Verilerin sürekli ölçekte olması ve herhangi bir veri kaybına yol açmamak için gruplandırma yapılmadan analiz edilmesi hedeflenmektedir. Bu amaçla, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farkın istatistiksel olarak anlamlılığı test edilecektir.

Buna göre, bu araştırmada test edilmesi gereken temel hipotez ( $H_0$ ) ve kullanılması gereken en uygun parametrik olmayan test yöntemi aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

H_0

: Veriler belirtilen kuramsal dağılıma uymaktadır; Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

H_0

: Veriler belirtilen kuramsal dağılıma uymamaktadır; Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

H_0

: Veriler belirtilen kuramsal dağılıma uymaktadır; Ki-Kare Uyum İyiliği Testi

H_0

: Gözlenen ve beklenen değerler arasında fark yoktur; Lilliefors Testi

H_0

: Gözlenen değerlerin medyanı kuramsal medyandan farklı değildir; İşaret Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0$ : Veriler belirtilen kuramsal dağılıma uymaktadır; Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Cevap

Temel hipotezin verilerin kuramsal dağılıma uygun olduğunu belirttiği 'Veriler belirtilen kuramsal dağılıma uymaktadır; Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi' seçeneği doğrudur.

Araştırmacının kullandığı yöntem, birikimli dağılım fonksiyonları (CDF) arasındaki farkı ölçen Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testidir. Bu testin temel hipotezi (

H_0

), örneklemin çekildiği kitlenin belirli bir kuramsal dağılıma sahip olduğunu (uygunluk gösterdiğini) ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve analiz yöntemini belirleme

Sürekli veriler ve birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) karşılaştırması

Soruda verilerin sürekli olduğu ve gözlenen/kuramsal birikimli dağılımlar arasındaki 'maksimum mutlak farkın' incelendiği belirtilmiştir. Bu tanım doğrudan Kolmogorov-Smirnov (K-S) test istatistiği olan

D

değerini tarif eder.

2

Hipotez kurma

H_0: F_n(x) = F_0(x)

Uyum iyiliği testlerinde temel hipotez (

H_0

), gözlenen örneklem dağılımının (

F_n(x)

), varsayılan kuramsal dağılıma (

F_0(x)

) uygun olduğunu (aralarında fark olmadığını) savunur.

3

Test seçimi ve eşleştirme

K-S Testi ve Uygunluk Hipotezi

Sürekli verilerde Ki-kare testi veri kaybına (gruplandırma gereği) neden olurken, K-S testi ham veriyi kullanarak daha güçlü bir analiz sunar.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi istatistiği (

D

), gözlenen birikimli oranlar ile beklenen birikimli oranlar arasındaki maksimum mutlak farkı ölçer.

Soru 5Soru →

Bir araştırmacı, bir kamu kurumunda çalışan personelin günlük dosya tamamlama sayılarının normal dağılıma uygunluğunu test etmek istemektedir. Anakütle ortalaması $(\mu)$ ve varyansı $(\sigma^2)$ bilinmediği için araştırmacı, bu parametreleri örneklem verilerinden hesapladığı $\bar{X}$ ve $s^2$ değerleri ile tahmin ederek verileri standartlaştırmış ve test istatistiğini belirlemiştir.

Parametrelerin örneklemden tahmin edilmesi durumunda, standart Kolmogorov-Smirnov kritik değerlerinin kullanılması testin güvenilirliğini azaltacağı için bu araştırmacının aşağıdaki testlerden hangisini kullanması en uygundur?

Shapiro-Wilk testi

Lilliefors testi

Ki-kare uyum iyiliği testi

Dizi (rastgelelik) testi

Tek örneklem Wilcoxon testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Lilliefors testi

Cevap

Parametrelerin örneklemden tahmin edildiği durumlarda Kolmogorov-Smirnov testinin özelleşmiş hali olan Lilliefors testi kullanılmalıdır.

Lilliefors testi, Kolmogorov-Smirnov test istatistiğinin anakütle ortalaması ve varyansının örneklem verilerinden tahmin edildiği durumlar için uyarlanmış halidir. Standart K-S testi parametrelerin tam olarak bilinmesini gerektirirken, Lilliefors bu kısıtlamayı esneterek daha doğru kritik değerler sunar.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılıma uygundur;

H_1

: Veriler normal dağılıma uygun değildir.

Uyum iyiliği testlerinde temel amaç gözlemlenen dağılımın teorik bir dağılıma (bu durumda normal dağılım) uygunluğunu denetlemektir.

2

Parametre durumunun analizi

Anakütle parametreleri

(\mu, \sigma^2)

bilinmiyor, örneklemden

(\bar{X}, s^2)

tahmin ediliyor.

Standart Kolmogorov-Smirnov testi, test edilecek dağılımın parametrelerinin önceden (veriden bağımsız) bilindiğini varsayar.

3

Uygun testin seçilmesi

Lilliefors testi seçilir.

Standart Kolmogorov-Smirnov tablosundaki kritik değerler parametre tahmini yapıldığında muhafazakar kalır (p-değerini yapay olarak yükseltir). Lilliefors, bu durum için özel kritik değerler geliştirmiştir.

Anahtar Kavram

Lilliefors Testi ve Parametre Tahmini

Daha Fazla Pratik

Lilliefors testinin p-değerlerinin standart K-S testine göre nasıl değiştiğini ve örneklem büyüklüğünün etkisini inceleyen sorulara çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir araştırmacı, bir kamu kurumunda çalışan personelin aylık işlem hacimlerinin normal dağılıma uygunluğunu test etmek istemektedir. Ancak analiz sürecinde anakütle ortalaması ( $\mu$ ) ve varyansı ( $\sigma^2$ ) bilinmediğinden, bu parametreler örneklem verileri kullanılarak tahmin edilmiş ve standart Kolmogorov-Smirnov test istatistiği hesaplanmıştır. Standart Kolmogorov-Smirnov tablo değerlerinin, parametrelerin örneklemden tahmin edildiği durumlarda Tip II hatayı (yanlış olan $H_0$ hipotezini reddedememe) artırdığı ve testi aşırı tutucu hale getirdiği bilinmektedir.

Buna göre, Kolmogorov-Smirnov test istatistiğinin kritik değerlerinin parametre tahminine göre düzeltilmiş halini kullanan en uygun normallik testi aşağıdakilerden hangisidir?

Shapiro-Wilk Testi

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi

Lilliefors Testi

Standart Kolmogorov-Smirnov Testi

Dizi (Rastgelelik) Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Lilliefors Testi

Cevap

Parametrelerin örneklemden tahmin edildiği durumlarda kullanılan Kolmogorov-Smirnov tabanlı en uygun test Lilliefors Testidir.

Doğru cevap Lilliefors testidir; çünkü bu test, standart Kolmogorov-Smirnov testinin anakütle parametrelerinin (ortalama ve varyans) örneklemden tahmin edildiği durumlar için geliştirilmiş ve kritik değerleri buna göre düzeltilmiş bir versiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin tanımlanması

Anakütle parametreleri (

\mu, \sigma^2

) bilinmemektedir ve örneklemden tahmin edilmiştir.

Normallik testlerinde parametrelerin bilinip bilinmemesi, testin gücünü ve kritik değer seçimini doğrudan etkiler.

2

Test yönteminin karşılaştırılması

Standart Kolmogorov-Smirnov testi, parametrelerin önceden bilinmesini gerektirir. Tahmin yapıldığında bu testin klasik tablo değerleri geçersizleşir.

Parametre tahmini, test istatistiğinin dağılımını değiştirerek p-değerlerinin olduğundan büyük çıkmasına (aşırı tutuculuk) neden olur.

3

Uygun testin seçilmesi

Hubert Lilliefors tarafından geliştirilen ve KS istatistiğinin kritik değerlerini simülasyon yoluyla parametre tahmini durumuna göre güncelleyen Lilliefors testi seçilir.

Bu yöntem, parametre tahmininden kaynaklanan Tip II hata artışını engeller.

Anahtar Kavram

Lilliefors testi, anakütle ortalaması ve varyansı bilinmediğinde uygulanan bir Kolmogorov-Smirnov uyarlamasıdır.

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunda yapılan bir araştırmada, çalışanların esnek çalışma modelinden memnun olma oranının $0,50$ olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla rastgele seçilen $10$ çalışandan $8$ 'inin esnek çalışma modelinden memnun olduğu belirlenmiştir. Araştırmacı, memnuniyet oranının $0,50$ 'den anlamlı derecede yüksek olup olmadığını test etmek istemektedir ( $H_0: p = 0,50$ ve $H_1: p > 0,50$ ). Bu durumda, tam (exact) Binom testi kullanılarak hesaplanacak p-değeri (anlamlılık değeri) aşağıdakilerden hangisidir?

56/1024

45/1024

112/1024

1/1024

0,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $56/1024$

Cevap

Binom testi sonucunda elde edilen p-değeri

56/1024

olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan

56/1024

değeri,

n=10

ve

p=0,50

parametrelerine sahip bir Binom dağılımında

X \geq 8

olma olasılığının tam karşılığıdır.

H_1: p > 0,50

hipotezi gereği, gözlenen 8 başarının yanına daha uç sonuçlar olan 9 ve 10 başarı durumları eklenerek sağ kuyruk olasılığı bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezleri ve test türünü belirleme

H_0: p = 0,50

,

H_1: p > 0,50

(Sağ kuyruklu test)

Araştırmacı memnuniyetin %50'den yüksek olup olmadığını sorguladığı için tek yönlü sağ kuyruk testi uygulanır.

2

p-değeri formülünü oluşturma

p-değeri = P(X \geq 8 | n=10, p=0,50)

Tam Binom testinde p-değeri, gözlenen başarı sayısı (

x=8

) ve daha uçtaki (9 ve 10) başarı sayılarının toplam olasılığıdır.

3

Olasılıkları tek tek hesaplama

P(8) = \binom{10}{8}(0,5)^{10} = \frac{45}{1024}

,

P(9) = \frac{10}{1024}

,

P(10) = \frac{1}{1024}

Binom olasılık fonksiyonu:

P(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}

kullanılarak her bir durumun olasılığı bulunur.

4

Toplam olasılığı bulma

(45 + 10 + 1) / 1024 = 56/1024

Bulunan olasılıklar toplanarak sağ kuyruk alanı elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom testinde p-değeri, küçük örneklemlerde (

n \leq 25

) doğrudan Binom dağılımı üzerinden olasılıkların toplanmasıyla hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem hacmi

n > 25

olduğunda Binom testi yerine Normal yaklaşım (

z

testi) kullanılması gerektiğini hatırlayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Bir araştırmacı, bir kamu kurumunda çalışan personelin günlük ortalama çay tüketim miktarının medyanının 4 bardak olduğunu iddia etmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen 15 personelin günlük çay tüketim miktarları şu şekildedir:

3, 5, 4, 6, 2, 4, 7, 5, 4, 3, 8, 5, 4, 6, 5

Tek örneklem işaret testi kullanılarak yapılacak bu hipotez testinde, test istatistiğinin hesaplanmasında kullanılacak etkin örneklem hacmi ( $n$ ) ve pozitif ( $+$ ) işaretlerin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

n = 11

ve

+

işaretli gözlem sayısı

= 8

n = 15

ve

+

işaretli gözlem sayısı

= 8

n = 11

ve

+

işaretli gözlem sayısı

= 3

n = 15

ve

+

işaretli gözlem sayısı

= 12

n = 11

ve

+

işaretli gözlem sayısı

= 11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n = 11$ ve $+$ işaretli gözlem sayısı $= 8$

Cevap

Etkin örneklem hacmi

n = 11

ve pozitif işaretli gözlem sayısı

8

olarak belirlenmiştir.

Doğru cevapta, 15 kişilik orijinal örneklemden medyan değeri olan 4'e eşit 4 gözlem çıkarılarak etkin örneklem hacmi

n=11

olarak hesaplanmıştır. Kalan veriler içinde 4'ten büyük olan 8 adet değer pozitif (+) işaretli olarak doğru sayılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotez edilen medyan değerini belirle.

M_0 = 4

Test, verilerin bu değere göre dağılımını incelemektedir.

2

Her bir gözlemi medyan değeri ile karşılaştırarak işaretlerini ata.

3 (-), 5 (+), 4 (0), 6 (+), 2 (-), 4 (0), 7 (+), 5 (+), 4 (0), 3 (-), 8 (+), 5 (+), 4 (0), 6 (+), 5 (+)

İşaret testi, değerlerin medyandan büyük (+) veya küçük (-) olmasına dayanır.

3

Medyana eşit olan (farkı sıfır olan) gözlemleri belirle ve örneklemden çıkar.

4 adet '4' değeri çıkarılır. Yeni

n = 15 - 4 = 11

.

İşaret testinde medyan ile aynı değere sahip gözlemler analize dahil edilmez.

4

Pozitif (+) işaretlerin sayısını hesapla.

5, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 5 değerleri için toplam 8 adet (+) işareti vardır.

Test istatistiği genellikle pozitif veya negatif işaretlerin sayısına göre belirlenir.

Anahtar Kavram

İşaret testinde medyan değerine eşit olan gözlemlerin analiz dışı bırakılarak örneklem büyüklüğünün güncellenmesi.

İpuçları

1

Veri setindeki her bir sayıyı 4 ile karşılaştırın; 4'ten büyük olanlara '+', küçük olanlara '-' işareti verin.

2

Veri setinde tam olarak 4'e eşit olan kaç tane değer olduğuna bakın. İşaret testinde bu değerler örneklemden çıkarılır.

3

15 veriden 4 tanesi medyana eşittir. Kalan 11 veri üzerinden kaç tanesinin 4'ten büyük olduğunu sayın.

Daha Fazla Pratik

Etkin örneklem büyüklüğü arttığında binom dağılımı yerine normal dağılım yaklaşımının (Z testi) nasıl kullanılacağını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir teknoloji firması, geliştirdiği dört farklı arayüz tasarımının (Tasarım 1, Tasarım 2, Tasarım 3 ve Tasarım 4) kullanıcılar tarafından eşit oranda tercih edilip edilmediğini araştırmaktadır. Rastgele seçilen $100$ kullanıcı üzerinde yapılan bir çalışmada, tasarımların tercih edilme sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tasarım	Tercih Sayısı (Gözlenen)
Tasarım 1	30
Tasarım 2	20
Tasarım 3	28
Tasarım 4	22

Buna göre, tasarımların tercih edilme oranlarının birbirine eşit olduğu hipotezini test etmek için kullanılacak Ki-kare ( $\chi^2$ ) uyum iyiliği test istatistiği değeri kaçtır?

2,72

0,64

16,00

2,81

3,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,72

Cevap

Ki-kare uyum iyiliği test istatistiği değeri 2,72 olarak hesaplanır.

Verilen verilere göre tasarımların eşit tercih edildiği varsayımı altında her tasarım için beklenen frekans

100/4 = 25

olur. Test istatistiği

\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

formülüyle hesaplandığında; Tasarım 1 ve 2 için

(5^2/25) = 1

, Tasarım 3 ve 4 için

(3^2/25) = 0,36

değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı

1 + 1 + 0,36 + 0,36 = 2,72

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) belirlenmesi

E_i = 100 / 4 = 25

Sıfır hipotezi tasarımların eşit oranda tercih edildiğini (homojen dağılım) savunduğu için toplam örneklem sayısı kategori sayısına bölünür.

2

Gözlenen (

O_i

) ve beklenen (

E_i

) değerler arasındaki farkların karelerinin hesaplanması

(30-25)^2 = 25

,

(20-25)^2 = 25

,

(28-25)^2 = 9

,

(22-25)^2 = 9

Ki-kare test istatistiği, gözlenen frekansların beklenen frekanslardan sapmasının karelerini temel alır.

3

Her kategori için

(O_i - E_i)^2 / E_i

değerlerinin hesaplanması

25/25 = 1,00

;

25/25 = 1,00

;

9/25 = 0,36

;

9/25 = 0,36

Karesi alınan farkların, beklenen frekansa oranlanması gerekir.

4

Elde edilen değerlerin toplanması

\chi^2 = 1,00 + 1,00 + 0,36 + 0,36 = 2,72

Ki-kare test istatistiği tüm kategorilerdeki oranların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir kalite kontrol mühendisi, bir üretim hattından çıkan $10$ adet ürünün ağırlıklarını (gram) üretim sırasına göre aşağıdaki gibi kaydetmiştir:

Gözlem Sırası	Ağırlık ( $g$ )
$1$	$12$
$2$	$18$
$3$	$15$
$4$	$20$
$5$	$25$
$6$	$10$
$7$	$8$
$8$	$30$
$9$	$22$
$10$	$14$

Mühendis, ürün ağırlıklarının rastgele bir dizilişe sahip olup olmadığını test etmek amacıyla medyan değerini referans alan bir Dizi (Rastgelelik) Testi uygulamaya karar vermiştir. Buna göre, bu test süreci için hesaplanması gereken toplam dizi sayısı ( $r$ ) kaçtır?

5

6

7

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7$

Cevap

Dizi (Rastgelelik) Testi için hesaplanan toplam dizi sayısı

7

olarak bulunur.

Veriler medyana (

16,5

) göre işaretlendiğinde ortaya çıkan

-, +, -, ++, --, ++, -

diziliminde, toplamda

7

tane kesintisiz işaret grubu bulunmaktadır. Bu grupların her biri bir 'dizi' (run) oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Verileri küçükten büyüğe sıralayarak medyan değerini belirleyin.

Sıralı dizi:

8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 22, 25, 30

. Medyan =

\frac{15 + 18}{2} = 16,5

.

Dizi testinde işaretlerin belirlenmesi için bir referans noktası gereklidir.

2

Orijinal gözlem sırasındaki her bir değeri medyan (

16,5

) ile karşılaştırarak işaretlerini (

+

/

-

) atayın.

İşaret dizisi:

-, +, -, +, +, -, -, +, +, -

.

Gözlemlerin medyanın altında veya üstünde olma durumuna göre gruplandırılması gerekir.

3

İşaret dizisindeki ardışık aynı karakterli grupları (dizileri) sayın.

(-), (+), (-), (++), (--), (++), (-)

olmak üzere toplam

7

dizi vardır.

Dizi sayısı (

r

), test istatistiğini oluşturur.

Anahtar Kavram

Dizi testi, bir veri setindeki gözlemlerin rastgele dizilip dizilmediğini belirlemek için kullanılan parametrik olmayan bir testtir.

Soru 11Soru →

Bir yerel yönetim, şehir içi ulaşım tercihlerinin sırasıyla Otobüs, Metro, Tramvay ve Vapur için $\%40$ , $\%30$ , $\%20$ ve $\%10$ oranında dağıldığını iddia etmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $200$ kişilik bir örneklemde elde edilen veriler şu şekildedir:

Ulaşım Türü	Gözlenen Frekans $(O_i)$
Otobüs	$70$
Metro	$70$
Tramvay	$45$
Vapur	$15$

Buna göre, ulaşım tercihlerinin iddia edilen dağılıma uygunluğunu test etmek için hesaplanması gereken Ki-kare $(\chi^2)$ test istatistiği değeri kaçtır?

4,79

5,08

250,00

3,00

0,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4,79$

Cevap

Hesaplanması gereken Ki-kare test istatistiği değeri

4,79

olarak bulunur.

Test istatistiği hesaplanırken önce beklenen frekanslar iddia edilen oranlar ve toplam örneklem hacmi (

N=200

) kullanılarak bulunur. Ardından her kategori için gözlenen ve beklenen değerler arasındaki farkların kareleri alınır ve bu değerler o kategorinin beklenen frekansına bölünür. Elde edilen değerlerin (

1,25 + 1,67 + 0,63 + 1,25

) toplamı olan

4,79

doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) hesaplanması

Otobüs:

200 \times 0,40 = 80

; Metro:

200 \times 0,30 = 60

; Tramvay:

200 \times 0,20 = 40

; Vapur:

200 \times 0,10 = 20

Uyum iyiliği testinde gözlenen değerlerin karşılaştırılacağı teorik (beklenen) frekansların belirlenmesi gerekir.

2

Her bir kategori için

(O_i - E_i)^2 / E_i

değerlerinin hesaplanması

Otobüs:

(70-80)^2/80 = 1,25

; Metro:

(70-60)^2/60 \approx 1,67

; Tramvay:

(45-40)^2/40 = 0,625

; Vapur:

(15-20)^2/20 = 1,25

Test istatistiği, gözlenen ve beklenen değerler arasındaki sapmaların normalize edilmiş karelerinin toplamıdır.

3

Hesaplanan değerlerin toplanarak toplam Ki-kare istatistiğinin bulunması

\chi^2 = 1,25 + 1,667 + 0,625 + 1,25 = 4,792 \approx 4,79

Tüm kategorilerdeki sapmaların toplamı genel uyum iyiliği istatistiğini verir.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği Hesaplama

Soru 12Soru →

Bir kamu kurumundaki evrak kayıt sürelerinin medyan değerinin $20$ dakika olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $6$ işlem için ölçülen süreler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İşlem No	1	2	3	4	5	6
Süre (dk)	17	22	15	25	14	20

Tek örneklem Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi kullanılarak yapılacak analizde, pozitif işaretli farkların sıra sayıları toplamı ( $W^+$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

4,5

10,5

6,5

9,0

15,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,5

Cevap

Tek örneklem Wilcoxon işaretli sıra sayıları testinde, sıfır farkları elendikten sonra mutlak farkların sıraları belirlenir ve pozitif farkların sıraları toplandığında sonuç 4,5 olarak bulunur.

Doğru yanıt olan değer, sıfır farkının elenmesi (

n=5

), mutlak farkların sıralanması (

2, 3, 5, 5, 6

), bağlı gözlemlere ortalama sıra verilmesi (

1, 2, 3,5, 3,5, 5

) ve sadece pozitif farkların (

+2

ve

+5

) sıralarının toplanması (

1 + 3,5

) ile elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlemlerden test edilen medyan değeri (

20

) çıkarılır ve farklar (

d_i

) bulunur.

d_i = \{-3, +2, -5, +5, -6, 0\}

Test istatistiği, gözlemlerin medyan etrafındaki dağılımına dayanır.

2

Sıfıra eşit olan farklar veri setinden çıkarılır ve kalan gözlem sayısı (

n

) belirlenir.

d_i = \{-3, +2, -5, +5, -6\}

ve

n = 5

Wilcoxon testinde sıfır farkları bilgi sağlamadığı için analize dahil edilmez.

3

Kalan farkların mutlak değerleri

|d_i|

küçükten büyüğe sıralanır ve sıra numaraları verilir. Bağlı gözlemlere (aynı değerli olanlara) sıra numaralarının ortalaması verilir.

|d_i|

değerleri:

2, 3, 5, 5, 6

. Sıra numaraları:

2 \rightarrow 1

;

3 \rightarrow 2

;

5, 5 \rightarrow (3+4)/2 = 3,5

;

6 \rightarrow 5

.

Sıralama mutlak büyüklüklere göre yapılır; bağlı değerler sıra ortalaması ile düzeltilir.

4

Pozitif farklara karşılık gelen sıra numaraları toplanır (

W^+

).

W^+ = (\text{Fark } +2 \text{ için sıra } 1) + (\text{Fark } +5 \text{ için sıra } 3,5) = 1 + 3,5 = 4,5

.

İstenen değer pozitif yönlü sapmaların toplam ağırlığıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi

Daha Fazla Pratik

Bağlı gözlemlerin (ties) test istatistiğinin standart hatası üzerindeki etkisini inceleyen sorulara göz atabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 13Soru →

Bir araştırmacı, bir yerel yönetim birimine yapılan emlak vergisi ödemelerinin tamamlanma sürelerinin (gün) normal dağılım gösterip göstermediğini test etmek istemektedir. Analiz aşamasında anakütle ortalaması ( $\mu$ ) ve varyansının ( $\sigma^2$ ) bilinmediği görülmüş; bu değerler yerine örneklemden elde edilen istatistikler kullanılarak standartlaştırma işlemi yapılmıştır.

Buna göre, standart Kolmogorov-Smirnov testinin parametrelerin örneklemden tahmin edildiği durumlar için geliştirilmiş ve farklı kritik değerler tablosu kullanan uyarlaması aşağıdakilerden hangisidir?

Lilliefors testi

Tek örneklem Kolmogorov-Smirnov testi

Shapiro-Wilk testi

Ki-kare uyum iyiliği testi

Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Lilliefors testi

Cevap

Lilliefors testi

Lilliefors testi, anakütle parametrelerinin (ortalama ve varyans) bilinmediği ve bu değerlerin örneklem verilerinden tahmin edildiği durumlarda normal dağılıma uygunluğu test etmek için geliştirilmiş bir yöntemdir. Standart Kolmogorov-Smirnov testinin bu durumdaki yetersizliğini gidermek için özel simülasyonlarla elde edilmiş kritik değerler tablosunu kullanır.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılıma uygundur.

H_1

: Veriler normal dağılıma uygun değildir.

Uyum iyiliği testlerinde temel amaç gözlenen dağılımın teorik dağılıma uygunluğunu belirlemektir.

2

Parametre durumunun analizi

Anakütle parametreleri (

\mu, \sigma^2

) bilinmemektedir ve örneklemden tahmin edilmiştir.

Standart Kolmogorov-Smirnov testi parametrelerin bilinmesini şart koşar.

3

Uygun testin seçilmesi

Lilliefors testi seçilir.

Lilliefors testi, parametrelerin örneklemden tahmin edildiği durumlarda p-değerlerini ve kritik değerleri düzelten bir Kolmogorov-Smirnov uyarlamasıdır.

Anahtar Kavram

Lilliefors Testi ve Parametre Tahmini

Daha Fazla Pratik

Lilliefors testinin kritik değerlerinin standart K-S değerlerinden neden daha küçük olduğunu ve bunun anlamlılık üzerindeki etkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 14Soru →

Bir araştırmacı, elindeki sürekli verilerin parametreleri bilinen belirli bir kuramsal dağılıma (örneğin normal dağılım) uygunluğunu test etmek amacıyla Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testini kullanmaya karar vermiştir. Bu testin temel hipotezi ( $H_0$ ) ve hesaplanan $D$ test istatistiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

H_0

hipotezi verilerin kuramsal dağılıma uygun olduğunu belirtir ve

D

istatistiği, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farktır.

H_0

hipotezi verilerin kuramsal dağılıma uygun olmadığını belirtir ve

D

istatistiği, gözlenen frekanslar ile beklenen frekanslar arasındaki farkların kareleri toplamının beklenen frekanslara oranlarının toplamıdır.

H_0

hipotezi verilerin kuramsal dağılıma uygun olduğunu belirtir ve

D

istatistiği, gözlenen ve kuramsal birikimli dağılım fonksiyonları arasındaki farkların aritmetik ortalamasıdır.

H_0

hipotezi verilerin normal dağıldığını belirtir ve

D

istatistiği, verilerin sıralı değerleri ile beklenen normal skorları arasındaki korelasyon katsayısının karesidir.

H_0

hipotezi verilerin rastgele dağıldığını belirtir ve

D

istatistiği, gözlem serisindeki artış ve azalışların (dizilerin) toplam sayısını ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0$ hipotezi verilerin kuramsal dağılıma uygun olduğunu belirtir ve $D$ istatistiği, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farktır.

Cevap

Yokluk hipotezi verilerin kuramsal dağılıma uygun olduğunu savunur ve test istatistiği birikimli dağılımlar arasındaki maksimum mutlak farktır.

Doğru ifade, Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin hem yokluk hipotezini (

H_0

: uygunluk vardır) hem de

D

istatistiğinin matematiksel tanımını (maksimum mutlak fark) eksiksiz içermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler belirtilen dağılıma uygundur.

H_1

: Veriler belirtilen dağılıma uygun değildir.

Uyum iyiliği testlerinde yokluk hipotezi her zaman farksızlığı (uygunluğu) ifade eder.

2

Ampirik birikimli dağılımın (

S_n(x)

) ve kuramsal birikimli dağılımın (

F(x)

) belirlenmesi

S_n(x) = \frac{i}{n}

ve

F(x) = P(X \leq x)

fonksiyonlarının oluşturulması.

Test, bu iki fonksiyonun birbirine ne kadar yakın olduğunu ölçmeyi amaçlar.

3

Test istatistiğinin hesaplanması

D = \max |F(x) - S_n(x)|

formülü ile en büyük farkın bulunması.

Kolmogorov-Smirnov testi, 'en kötü durum' (maksimum sapma) üzerinden karar verir.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, gözlenen ve kuramsal birikimli dağılım fonksiyonları arasındaki maksimum mutlak farkı (

D

istatistiği) kullanarak bir veri setinin belirli bir sürekli dağılıma uygunluğunu denetler.

Alternatif Yöntem

K-S testi istatistiği grafikte ampirik basamak fonksiyonu ile kuramsal eğri arasındaki en geniş dikey boşluk olarak da görselleştirilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir belediyenin ruhsat şubesinde işlem gören yapı ruhsatlarının tamamlanma sürelerinin medyanının 12 gün olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen 12 ruhsatın tamamlanma süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gözlem No	Tamamlanma Süresi (Gün)
1	10
2	15
3	12
4	14
5	11
6	13
7	16
8	12
9	18
10	14
11	9
12	12

Buna göre, "Tek Örneklem İşaret Testi" uygulanırken test istatistiği hesaplamasında kullanılacak olan örneklem hacmi ( $n$ ) ve pozitif işaretli gözlemlerin sayısı ( $S^+$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

n = 9, S^+ = 6

n = 12, S^+ = 6

n = 9, S^+ = 3

n = 12, S^+ = 9

n = 9, S^+ = 5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n = 9, S^+ = 6$

Cevap

Örneklem hacminin 9 ve pozitif işaretli gözlem sayısının 6 olduğu seçenek doğrudur.

Verilen 12 gözlemden 3 tanesi (3., 8. ve 12. gözlemler) test edilen medyan değeri olan 12'ye eşittir. İşaret testi prosedürüne göre bu gözlemler çıkarıldığında analizde kullanılacak örneklem hacmi

n = 9

olur. Kalan gözlemlerden 12'den büyük olanlar (15, 14, 13, 16, 18, 14) pozitif işaret alır ve toplamda 6 tanedir. Dolayısıyla

n = 9

ve

S^+ = 6

değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotez edilen medyan değerini belirle.

\theta_0 = 12

İşaret testi, gözlemlerin hipotez edilen bu medyan değerine göre dağılımını inceler.

2

Gözlemleri hipotez edilen medyan ile karşılaştırarak işaretleri ata.

10(-), 15(+), 12(0), 14(+), 11(-), 13(+), 16(+), 12(0), 18(+), 14(+), 9(-), 12(0)

Değer > 12 ise (+), Değer < 12 ise (-), Değer = 12 ise (0) olarak kodlanır.

3

Sıfır farklarını (0) ayıkla ve efektif örneklem hacmini hesapla.

n = 12 - 3 = 9

İşaret testinde medyana eşit olan gözlemler analiz dışı bırakılır.

4

Pozitif işaretlerin sayısını (

S^+

) hesapla.

S^+ = 6

(15, 14, 13, 16, 18, 14)

Test istatistiği, kalan

n

gözlem içindeki (+) veya (-) işaretlerin sayısıdır.

Anahtar Kavram

İşaret testinde medyan değerine eşit olan gözlemlerin analizden çıkarılması ve kalan gözlemlerin işaret sayılarına göre test istatistiğinin oluşturulması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 16Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin eğitim düzeyi dağılımının $\%25$ Lise, $\%50$ Lisans ve $\%25$ Lisansüstü şeklinde olması hedeflenmektedir. Bu hedefi test etmek amacıyla kurumdan rastgele seçilen $200$ personelin eğitim düzeyleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Eğitim Düzeyi	Personel Sayısı ( $O_i$ )
Lise	$40$
Lisans	$115$
Lisansüstü	$45$

Buna göre, personelin eğitim düzeyi dağılımının hedeflenen oranlara uygunluğunu test etmek için kullanılan Ki-kare ( $\chi^2$ ) uyum iyiliği test istatistiği değeri kaçtır?

3,25

4,25

4,75

5,01

5,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4,75$

Cevap

Hesaplanan Ki-kare test istatistiği değeri

4,75

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan

4,75

değeri, beklenen frekansların (

50

,

100

,

50

) doğru hesaplanması ve formülün her bir kategori için hatasız uygulanması (

2,0 + 2,25 + 0,5

) sonucunda elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) hesaplanması

E_{Lise} = 200 \times 0,25 = 50

,

E_{Lisans} = 200 \times 0,50 = 100

,

E_{Lisansüstü} = 200 \times 0,25 = 50

Uyum iyiliği testinde gözlenen değerlerin karşılaştırılacağı teorik beklenen frekansların belirlenmesi gerekir.

2

Her kategori için

(O_i - E_i)^2 / E_i

terimlerinin hesaplanması

Lise:

(40-50)^2 / 50 = 2,0

; Lisans:

(115-100)^2 / 100 = 2,25

; Lisansüstü:

(45-50)^2 / 50 = 0,5

Ki-kare test istatistiği, gözlenen ve beklenen frekanslar arasındaki sapmaların normalize edilmiş kareler toplamıdır.

3

Terimlerin toplanarak toplam Ki-kare değerine ulaşılması

\chi^2 = 2,0 + 2,25 + 0,5 = 4,75

Kategorik veriler için genel uyum iyiliği istatistiği tüm sınıflardaki farkların toplamıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Ki-kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği Hesaplama

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen verimlilik çalışması kapsamında, personelin bir evrakı sonuçlandırma sürelerinin (dakika) normal dağılıma uygunluğu Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi ile incelenmektedir. Buna göre, bu testin uygulanması ve test istatistiğinin ( $D$ ) mahiyeti ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Test istatistiği

D

, örneklemin birikimli dağılım fonksiyonu ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farka eşittir.

H_0

hipotezi, personelin evrak sonuçlandırma sürelerinin dağılımı ile normal dağılım arasında anlamlı bir fark olduğunu savunur.

Söz konusu testin güvenilir sonuçlar vermesi için beklenen frekans değerlerinin her bir kategoride en az 5 olması zorunluluğu vardır.

Bu test, verilerin sadece sınıflama (nominal) ölçeğinde ölçüldüğü ve parametrelerin bilinmediği durumlarda kullanılan parametrik bir testtir.

Test istatistiği

D

, gözlenen değerlerin kuramsal ortalamadan sapmalarının kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test istatistiği $D$ , örneklemin birikimli dağılım fonksiyonu ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farka eşittir.

Cevap

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi için doğru ifade, test istatistiği

D

'nin gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farka eşit olmasıdır.

Doğru ifade, Kolmogorov-Smirnov testinin matematiksel mantığını özetlemektedir. Bu test, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu (

S(x)

) ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonu (

F(x)

) arasındaki farkları inceler ve bu farkların mutlak değerce en büyüğünü (maksimum) test istatistiği (

D

) olarak kabul eder.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin belirlenmesi

H_0

: Veriler normal dağılıma uygundur.

H_1

: Veriler normal dağılıma uygun değildir.

Testin amacına uygun olarak uyumun varlığı sıfır hipotezi olarak kurulur.

2

Birikimli olasılıkların hesaplanması

Örneklem verileri için

S(x)

ve kuramsal normal dağılım için

F_0(x)

fonksiyonları oluşturulur.

Test, frekanslar yerine birikimli olasılıkların karşılaştırılmasına dayanır.

3

Test istatistiğinin (

D

) hesaplanması

D = \max |S(x) - F_0(x)|

İki fonksiyon arasındaki en büyük dikey fark, verilerin kuramsal modelden ne kadar saptığını ölçer.

Anahtar Kavram

Kolmogorov-Smirnov testi, bir örneklem dağılımının belirli bir kuramsal dağılıma (normal, üniform vb.) ne ölçüde uyduğunu, birikimli dağılım fonksiyonları arasındaki maksimum dikey mesafeyi (

D

) ölçerek belirleyen parametrik olmayan bir uyum iyiliği testidir.

Alternatif Yöntem

Veri seti büyükse (

n > 50

), Kolmogorov-Smirnov testi genellikle normallik için kullanılırken; daha küçük örneklemlerde Shapiro-Wilk testinin daha güçlü olduğu bilinmektedir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Bir vergi dairesinde yapılan incelemede, beyannamelerin %40'ında ( $p=0,40$ ) usul hatası yapıldığı iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rasgele seçilen 5 beyannameden 4'ünde usul hatası saptanmıştır. $H_1: p > 0,40$ alternatif hipotezi altında Binom testi kullanılarak hesaplanan p-değeri (gözlenen anlamlılık düzeyi) aşağıdakilerden hangisidir?

0,08704

0,17408

0,07680

0,01024

0,25920

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,08704$

Cevap

Hesaplanan p-değeri

0,08704

olarak bulunur.

Doğru cevap, Binom dağılımı kullanılarak

n=5, p=0,40

parametreleri ile hesaplanan

P(X \ge 4)

olasılığıdır. Bu olasılık, 4 hata gelme olasılığı ile 5 hata gelme olasılığının toplamına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0: p = 0,40

ve

H_1: p > 0,40

İddia edilen değer sıfır hipotezi, araştırılan yönlü fark ise alternatif hipotezdir.

2

p-değeri formülünün belirlenmesi

p = P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)

Binom testinde p-değeri, gözlenen başarı sayısı ve daha uçtaki değerlerin olasılıkları toplamıdır.

3

Olasılıkların hesaplanması

P(4) = \binom{5}{4} (0,4)^4 (0,6)^1 = 0,0768

ve

P(5) = \binom{5}{5} (0,4)^5 (0,6)^0 = 0,01024

Binom olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

kullanılmıştır.

4

Toplamın alınması

0,0768 + 0,01024 = 0,08704

İlgili olasılıklar toplanarak testin gözlenen anlamlılık düzeyi elde edilir.

Anahtar Kavram

Küçük örneklemlerde oran testi için Binom dağılımı üzerinden p-değeri hesaplanması.

Daha Fazla Pratik

Örneklem hacmi

n > 30

olsaydı normal yaklaşım (Z-testi) nasıl uygulanırdı konusunu inceleyin.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 19Soru →

Bir kamu kurumunda vatandaşların dilekçe sorgulama işlemlerinin sonuçlanma süresinin medyanının $15$ dakika olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla rastgele seçilen $13$ vatandaşın işlem süreleri (dakika) aşağıda verilmiştir:

$18, 12, 15, 20, 14, 15, 17, 19, 11, 15, 16, 22, 13$

Buna göre, tek örneklem işaret testi uygulandığında analizde dikkate alınacak etkin örneklem hacmi ( $n$ ) ve artı ( $+$ ) işaretli gözlem sayısı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n = 10

ve

+

işaretli gözlem sayısı

6

n = 13

ve

+

işaretli gözlem sayısı

6

n = 10

ve

+

işaretli gözlem sayısı

4

n = 13

ve

+

işaretli gözlem sayısı

9

n = 11

ve

+

işaretli gözlem sayısı

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n = 10$ ve $+$ işaretli gözlem sayısı $6$

Cevap

Analizde kullanılacak örneklem hacmi

n = 10

ve artı (

+

) işaretli gözlem sayısı

6

olarak belirlenir.

Verilen veri setinde hipotez edilen medyan değeri

15

olduğundan, bu değerden büyük olan gözlemler artı (

+

), küçük olanlar eksi (

-

) olarak işaretlenir.

15

değerine eşit olan

3

gözlem analizden çıkarıldığında toplam örneklem hacmi

13

yerine

10

olur. Bu

10

gözlemden

6

tanesi (

18, 20, 17, 19, 16, 22

)

15

değerinden büyük olduğu için artı işaretli gözlem sayısı

6

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotez edilen medyan değerini (

M_0 = 15

) veri setindeki her bir gözlemle karşılaştırınız.

18(+), 12(-), 15(0), 20(+), 14(-), 15(0), 17(+), 19(+), 11(-), 15(0), 16(+), 22(+), 13(-)

İşaret testinde gözlemlerin medyan ile olan farklarının yönü (işareti) belirlenmelidir.

2

Medyan değerine eşit olan (

15

olan) gözlemleri belirleyerek analiz dışı bırakınız.

Veride

3

adet

15

değeri bulunmaktadır. Etkin örneklem hacmi:

13 - 3 = 10

İşaret testinde farkı sıfır olan gözlemler test istatistiğine ve örneklem hacmine dahil edilmez.

3

Geriye kalan

10

gözlem içindeki artı (

+

) işaretlerini sayınız.

Artı işaretli gözlemler (

18, 20, 17, 19, 16, 22

) toplam

6

adettir.

Test istatistiği, artı veya eksi işaretli gözlemlerin sayısına dayanır.

Anahtar Kavram

İşaret testinde medyana eşit olan gözlemlerin (sıfır farklar) örneklem hacminden çıkarılması.

Soru 20Soru →

Bir kamu kurumuna yapılan vatandaş başvurularının sonuçlandırılma süresinin medyan değerinin $15$ gün olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $5$ başvurunun sonuçlandırılma süreleri gün bazında şu şekildedir:

18, 12, 15, 22, 10

Bu verilere göre "Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi" uygulandığında, negatif farklara ait sıra sayıları toplamı ( $W^-$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

4,5

5,5

6,5

4,0

3,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4,5$

Cevap

Negatif farkların mutlak değerce sıralanması ve bağlı gözlemler için sıra ortalaması kullanılmasıyla elde edilen

W^-

değeri

4,5

olarak hesaplanır.

Hesaplanan farklar arasından sıfır olan değer çıkarıldığında kalan farklar

3, -3, 7, -5

şeklindedir. Bunların mutlak değerleri

3, 3, 5, 7

olarak sıralanır. İlk iki değer aynı (bağlı) olduğu için

(1+2)/2=1,5

sıra numarası alırlar. Negatif farklar olan

-3

ve

-5

için karşılık gelen sıralar

1,5

ve

3

olup, toplamları

4,5

eder.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlemler ile iddia edilen medyan (

M_0 = 15

) arasındaki farkları hesaplayın.

18-15=3

;

12-15=-3

;

15-15=0

;

22-15=7

;

10-15=-5

Wilcoxon testi, gözlemlerin referans değerden sapmalarını temel alır.

2

Sıfır olan farkları analizden çıkarın ve örneklem hacmini güncelleyin.

Farklar:

3, -3, 7, -5

. Yeni örneklem hacmi

n = 4

.

Testin varsayımı gereği medyana eşit değerler sıralamaya dahil edilmez.

3

Kalan farkların mutlak değerlerini küçükten büyüğe sıralayarak sıra numarası verin. Aynı mutlak değere sahip olanlara sıra ortalamasını atayın.

| -3 | = 3

ve

| 3 | = 3

değerleri

1.

ve

2.

sırayı paylaşır:

(1+2)/2 = 1,5

.

| -5 | = 5

değeri

3.

sıradadır.

| 7 | = 7

değeri

4.

sıradadır.

Bağlı gözlemler (aynı mutlak değere sahip farklar) testin gücünü etkilememesi için sıra ortalamasıyla değerlendirilir.

4

Farkların orijinal işaretlerine göre negatif olanların sıra numaralarını toplayın (

W^-

).

W^- = 1,5

(

-3

için)

+ 3

(

-5

için)

= 4,5

.

Negatif farklara ait sıra toplamı, test istatistiğinin belirlenmesinde kullanılan bileşenlerden biridir.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi

Daha Fazla Pratik

Bağlı gözlemlerin (aynı fark değerleri) çok fazla olması durumunda test istatistiğinde yapılacak normal dağılım yaklaşımı düzeltmesini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Tek Örneklem Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap