Examkin

Soru

Zorluk: Zor(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir vergi dairesinin borç yapılandırma servisinde, evrak kabul işlemlerini yürütmek üzere yan yana 22 adet özdeş vezne bulunmaktadır. Mükelleflerin bu servise gelişleri saatte ortalama 2020 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır.

Her bir veznede bir mükellefin işleminin tamamlanma süresi ortalama 2,42,4 dakika sürmekte olup üstel dağılım göstermektedir. Servisteki bekleme alanının kapasitesinin sınırsız olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sistem sürekli duruma (steady-state) ulaştığında serviste hiçbir mükellefin bulunmama (sistemin tamamen boş olma) olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. 37\frac{3}{7}Cevap
  2. B
    35\frac{3}{5}
  3. C
    1523\frac{15}{23}
  4. D
    1543\frac{15}{43}
  5. E
    2553\frac{25}{53}

Cevap

Sistemin tamamen boş olma olasılığı 37\frac{3}{7}'dir.
Doğru yanıt 37\frac{3}{7} olmalıdır. Çok kanallı kuyruk sistemlerinde (M/M/c) sistemin boş olma olasılığı hesaplanırken öncelikle r=λμr = \frac{\lambda}{\mu} ve ρ=λcμ\rho = \frac{\lambda}{c\mu} parametreleri bulunur. λ=20\lambda = 20, μ=25\mu = 25 (60/2,460/2,4) ve c=2c = 2 değerleri ile r=0,8r=0,8 ve ρ=0,4\rho=0,4 elde edilir. Formül gereği P0=[1+0,8+(0,822!)×(11−0,4)]−1P_0 = [1 + 0,8 + (\frac{0,8^2}{2!}) \times (\frac{1}{1-0,4})]^{-1} denklemi çözüldüğünde sonuç 30/7030/70 yani 3/73/7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geliş ve hizmet sürelerinin ortak bir zaman birimine (saat) dönüştürülmesi.
Geliş hızı λ=20\lambda = 20 kişi/saat. Hizmet süresi 2,42,4 dakika olduğundan, hizmet hızı μ=602,4=25\mu = \frac{60}{2,4} = 25 kişi/saat. Vezne sayısı c=2c = 2.
Kuyruk modellerinde geliş ve hizmet hızlarının aynı zaman birimi cinsinden ifade edilmesi zorunludur.
2
Sistem yoğunluk faktörü (trafik yoğunluğu, rr) ve sistemin kullanım oranının (ρ\rho) hesaplanması.
r=λμ=2025=0,8r = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{20}{25} = 0,8. Kullanım oranı ρ=λcμ=202×25=0,4\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{20}{2 \times 25} = 0,4.
P0P_0 formülünde seri açılımı için rr, yakınsama çarpanı için ise ρ\rho parametrelerine ihtiyaç vardır.
3
(M/M/c) çok kanallı kuyruk modeli için boşta kalma olasılığı (P0P_0) formülünün uygulanması.
P0=[∑n=0c−1rnn!+rcc!(11−ρ)]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{r^n}{n!} + \frac{r^c}{c!} \left( \frac{1}{1-\rho} \right) \right]^{-1} formülü yazılır.
Sistem kapasitesinin sonsuz olduğu çok kanallı sistemlerde bekleme teorisinin temel P0P_0 denklemi budur.
4
Değerlerin formülde yerine konulması ve işlemin sonuçlandırılması.
P0=[0,800!+0,811!+0,822!(11−0,4)]−1=[1+0,8+0,642×53]−1=[1,8+0,32×53]−1=[1810+1630]−1=[54+1630]−1=3070=37P_0 = \left[ \frac{0,8^0}{0!} + \frac{0,8^1}{1!} + \frac{0,8^2}{2!} \left( \frac{1}{1-0,4} \right) \right]^{-1} = \left[ 1 + 0,8 + \frac{0,64}{2} \times \frac{5}{3} \right]^{-1} = \left[ 1,8 + 0,32 \times \frac{5}{3} \right]^{-1} = \left[ \frac{18}{10} + \frac{16}{30} \right]^{-1} = \left[ \frac{54+16}{30} \right]^{-1} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}.
Rasyonel sayı işlemlerinin sadeleştirilerek olasılık değerinin bulunması amaçlanır.

Anahtar Kavram

Çok Kanallı Sonsuz Kapasiteli Kuyruk Modellerinde (M/M/c) Boşta Kalma Olasılığı (P0P_0)
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru