Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir kamu bankası şubesinde 22 adet vezne hizmet vermektedir. Bankaya gelen müşteriler, saatte ortalama 22 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun bir varış süreci izlemektedir. Her bir vezne görevlisi, bir müşteriye ortalama 3030 dakikada hizmet sunmakta olup hizmet süreleri üstel dağılıma uygundur. Bankada fiziksel alan kısıtlılığı nedeniyle, sistemde bulunabilecek toplam müşteri sayısı (veznede hizmet alanlar ve kuyrukta bekleyenler dahil) en fazla 33 kişi ile sınırlandırılmıştır. Sistem tam kapasiteye ulaştığında gelen müşteriler bankaya kabul edilmemektedir.

Buna göre, bu banka şubesinde kararlı hal (steady-state) durumunda sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LsL_s) kaçtır?

  1. A
    1/111/11
  2. B
    4/114/11
  3. C
    10/1110/11
  4. 11Cevap
  5. E
    4/34/3

Cevap

Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LsL_s) 11 olarak hesaplanır.
Denge durumundaki olasılıklar hesaplandığında P0=4/11P_0=4/11, P1=4/11P_1=4/11, P2=2/11P_2=2/11 ve P3=1/11P_3=1/11 bulunur. Bu olasılıklar kullanılarak hesaplanan beklenen değer Ls=1×(4/11)+2×(2/11)+3×(1/11)=1L_s = 1 \times (4/11) + 2 \times (2/11) + 3 \times (1/11) = 1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerinin belirlenmesi
λ=2\lambda = 2 müşteri/saat, μ=2\mu = 2 müşteri/saat (3030 dk = 0.50.5 saat →1/0.5=2\rightarrow 1/0.5 = 2), c=2c = 2 vezne, K=3K = 3 sistem kapasitesi.
Kuyruk modelini tanımlamak için varış hızı, hizmet hızı, kanal sayısı ve sistem kapasitesi netleştirilmelidir.
2
Trafik yoğunluğu (uu) ve sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
u=λ/μ=2/2=1u = \lambda / \mu = 2 / 2 = 1. 1/P0=∑n=011nn!+∑n=231n2!2n−2=(1+1)+(1/2+1/4)=2.75=11/41/P_0 = \sum_{n=0}^{1} \frac{1^n}{n!} + \sum_{n=2}^{3} \frac{1^n}{2! 2^{n-2}} = (1+1) + (1/2 + 1/4) = 2.75 = 11/4. Buradan P0=4/11P_0 = 4/11.
Sonlu kapasiteli modellerde durum olasılıklarını bulmak için öncelikle P0P_0 hesaplanmalıdır.
3
Sistemdeki müşteri sayısı olasılıklarının (PnP_n) hesaplanması
P1=uP0=4/11P_1 = u P_0 = 4/11, P2=u22P0=2/11P_2 = \frac{u^2}{2} P_0 = 2/11, P3=u34P0=1/11P_3 = \frac{u^3}{4} P_0 = 1/11.
Beklenen değer hesabı için her bir durumun (n=0,1,2,3n=0,1,2,3) gerçekleşme olasılığı gereklidir.
4
Ortalama müşteri sayısının (LsL_s) hesaplanması
Ls=∑n=03nPn=0(4/11)+1(4/11)+2(2/11)+3(1/11)=(4+4+3)/11=11/11=1L_s = \sum_{n=0}^{3} n P_n = 0(4/11) + 1(4/11) + 2(2/11) + 3(1/11) = (4 + 4 + 3)/11 = 11/11 = 1.
Sistemdeki ortalama müşteri sayısı, müşteri sayılarının olasılıkları ile ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K)(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Kuyruk Modeli Performans Ölçütleri

Daha Fazla Pratik

Sistemin müşteriyi reddetme olasılığını (PKP_K) hesaplayarak kapasite artırımının etkisini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Önce λeff=λ(1−P3)\lambda_{eff} = \lambda(1 - P_3) hesaplanıp, sonra Little Teoremi yardımıyla Ls=Lq+(λeff/μ)L_s = L_q + (\lambda_{eff} / \mu) formülü kullanılabilir. λeff=2(1−1/11)=20/11\lambda_{eff} = 2(1 - 1/11) = 20/11. Ls=1/11+(20/11/2)=1/11+10/11=1L_s = 1/11 + (20/11 / 2) = 1/11 + 10/11 = 1.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru