Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir kamu kurumunun evrak kayıt biriminde 22 adet banko hizmet vermektedir. Birime gelen evraklar saatte ortalama 44 adet olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak ulaşmaktadır. Her bir bankoda evrakların işlenme süresi üstel dağılıma uygun olup saatte ortalama 22 evrak tamamlanmaktadır. Birimin fiziksel kısıtları nedeniyle sistemde (hizmet alanlar ve bekleyenler dahil) en fazla 33 evrak bulunabilmektedir.

Buna göre, birime gelen bir evrakın sistemin tam kapasite dolu olması nedeniyle kabul edilmeme (kaybedilme) olasılığı kaçtır?

  1. A
    1/71/7
  2. 2/72/7Cevap
  3. C
    3/73/7
  4. D
    2/52/5
  5. E
    1/21/2

Cevap

Sistemin tam kapasite dolu olması nedeniyle evrakın kabul edilmeme olasılığı 2/72/7 olarak hesaplanır.
Verilen parametrelerle (λ=4,μ=2,c=2,K=3\lambda=4, \mu=2, c=2, K=3) sistemin denge durumu olasılıkları hesaplandığında, sistemin her bir durumu için olasılık ağırlıklarının eşit (1,2,2,21, 2, 2, 2) olduğu görülür. Bu durumda toplam ağırlık 77 birim olup, her bir durumun olasılığı bu toplam içindeki payıdır. Sistemin dolu olduğu n=3n=3 durumu için bu pay 2/72/7 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirleme
λ=4\lambda = 4, μ=2\mu = 2, c=2c = 2, K=3K = 3
M/M/c/K modeli için varış hızı, hizmet hızı, kanal sayısı ve sistem kapasitesi tanımlanmalıdır.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplama
P0=[1+2+2+2]−1=1/7P_0 = [1 + 2 + 2 + 2]^{-1} = 1/7
P0=[∑n=0c−11n!(λμ)n+∑n=cK1c!cn−c(λμ)n]−1P_0 = [\sum_{n=0}^{c-1} \frac{1}{n!} (\frac{\lambda}{\mu})^n + \sum_{n=c}^{K} \frac{1}{c! c^{n-c}} (\frac{\lambda}{\mu})^n]^{-1} formülü uygulanır. λ/μ=2\lambda/\mu = 2 olduğu için; n=0→1n=0 \rightarrow 1, n=1→2n=1 \rightarrow 2, n=2→22/2!=2n=2 \rightarrow 2^2/2! = 2, n=3→23/(2!×21)=2n=3 \rightarrow 2^3/(2! \times 2^1) = 2 olur.
3
Sistemin dolu olma olasılığını (PKP_K) hesaplama
P3=12!23−2(2)3×P0=2×1/7=2/7P_3 = \frac{1}{2! 2^{3-2}} (2)^3 \times P_0 = 2 \times 1/7 = 2/7
Sonlu kapasiteli sistemlerde varışın reddedilme olasılığı, sistemin tam kapasite (KK) dolu olma olasılığına (PKP_K) eşittir.

Anahtar Kavram

M/M/c/K modelinde sistemin dolu olma olasılığı ve denge durumu denklemleri

Daha Fazla Pratik

Sistemin beklenen evrak sayısını (LsL_s) hesaplayarak Little Teoremi'nin sonlu kapasiteli sistemlerdeki farklarını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru