Examkin

Soru

Zorluk: KolayWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) {W(t),t≥0}\{W(t), t \geq 0\} verilmiştir. Buna göre, 2W(5)2W(5) rastgele değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 20Cevap
  2. B
    10
  3. C
    25
  4. D
    0
  5. E
    100

Cevap

Varyansın 20 olduğu seçenek doğrudur.
Varyansın 20 çıkmasının nedeni, standart bir Wiener sürecinde Var(W(t))=tVar(W(t)) = t özelliğinden dolayı Var(W(5))=5Var(W(5)) = 5 olması ve varyansın doğrusal katsayı kuralına göre Var(2W(5))=22×5=4×5=20Var(2W(5)) = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20 şeklinde hesaplanmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart Wiener sürecinin varyans özelliğini belirle.
Var(W(t))=tVar(W(t)) = t olduğu için Var(W(5))=5Var(W(5)) = 5 bulunur.
Standart bir Wiener sürecinde her tt anındaki değerin varyansı o ana (zaman parametresine) eşittir.
2
Rastgele değişkenlerin doğrusal dönüşümlerindeki varyans kuralını uygula.
Var(aX)=a2Var(X)Var(aX) = a^2 Var(X) formülü kullanılır.
Bir rastgele değişken sabit bir katsayı ile çarpıldığında, varyansı o katsayının karesi oranında değişir.
3
Değerleri yerine koyarak nihai varyansı hesapla.
Var(2W(5))=22×Var(W(5))=4×5=20Var(2W(5)) = 2^2 \times Var(W(5)) = 4 \times 5 = 20.
Katsayı olan 2'nin karesi (4) ile W(5)W(5)'in varyansı (5) çarpılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Wiener Süreci Varyans Özellikleri ve Doğrusal Dönüşümler

Alternatif Yöntem

Önce X=2W(5)X = 2W(5) değişkeninin dağılımını belirleyebilirsiniz. W(5)∼N(0,5)W(5) \sim N(0, 5) olduğundan, 2W(5)∼N(2×0,22×5)=N(0,20)2W(5) \sim N(2 \times 0, 2^2 \times 5) = N(0, 20) olur. Buradan varyans doğrudan 20 olarak görülür.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bu konudan daha fazla soru