Examkin

Soru

Zorluk: ZorNokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bir veri analiz sürecinde araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x;α,β)f(x; \alpha, \beta) olan ve her iki parametresi de (α,β)(\alpha, \beta) bilinmeyen bir kitle modelinden alınan nn birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) ile çalışmaktadır. Araştırmacının amacı, yalnızca α\alpha parametresinin tahmin edilmesi için matematiksel bir yapı kurmaktır.

Söz konusu tahmin işlemi için araştırmacı tarafından veri setine uygulanmak üzere aşağıdaki farklı matematiksel dönüşümler (fonksiyonlar) tanımlanmıştır:

I. W1=(1n∑i=1nXi)+βW_1 = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right) + \beta
II. W2=1α∏i=1nXiW_2 = \frac{1}{\alpha} \prod_{i=1}^n X_i
III. W3=∑i=1n(Xi−Xˉ)2W_3 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
IV. W4=∑i=1neXiW_4 = \sum_{i=1}^n e^{X_i}

Bu fonksiyonların α\alpha parametresini kestirmek amacıyla birer nokta tahmin edici (point estimator) adayı olarak kullanılabilirliği ve "istatistik" kavramının teorik tanımları dikkate alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. W3W_3 ve W4W_4 fonksiyonları, hesaplanmaları aşamasında α\alpha veya β\beta gibi bilinmeyen kitle parametrelerine ihtiyaç duymayan ve yalnızca örneklem gözlemlerine dayanan yapıları nedeniyle teorik olarak birer istatistiktir ve α\alpha için nokta tahmin edici adayı olabilirler.Cevap
  2. B
    W3W_3 fonksiyonu bilinmeyen parametre içermediğinden geçerli bir tahmin edicidir; ancak α\alpha parametresi için hesaplanacak Hata Kareler Ortalaması (MSE) ile varyansı, yan (bias) durumundan bağımsız olarak daima birbirine eşit olmak zorundadır.
  3. C
    W4W_4 fonksiyonu bir istatistik özelliği taşır ve eğer bu tahmin edici α\alpha için yansız (unbiased) bir forma dönüştürülebilirse, örneklem çapı sonsuza büyüdüğünde α\alpha'ya olasılıkta yakınsayacağı (tutarlı olacağı) istisnasız olarak garanti edilir.
  4. D
    W1W_1 fonksiyonu hedef parametre olan α\alpha'yı içermediği için α\alpha'nın geçerli bir tahmin edicisidir ve şayet α\alpha için yeterli (sufficient) bir yapıdaysa, tamlık (completeness) koşuluna bakılmaksızın doğrudan Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) olur.
  5. E
    W2W_2 fonksiyonundaki 1α\frac{1}{\alpha} terimi, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli istatistiğin (sufficient statistic) formülünde yer alması gereken mecburi bir bileşendir ve bu parametrik bağımlılık onun istatistik olma özelliğini bozmaz.

Cevap

W3W_3 ve W4W_4 fonksiyonlarının, bilinmeyen parametreler içermedikleri için tanım gereği birer istatistik olduğu ve bu nedenle nokta tahmin edici adayı olabileceklerini belirten ifadedir.
İstatistiksel çıkarım teorisine göre, bir 'istatistik', yalnızca örneklemdeki gözlemlere dayanan ve kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametreyi barındırmayan gözlemlenebilir bir rastgele değişkendir. W1W_1 fonksiyonu bilinmeyen β\beta'yı, W2W_2 ise bilinmeyen α\alpha'yı içerdiği için birer istatistik değildirler ve tahmin edici fonksiyon olamazlar. W3W_3 ve W4W_4 ise yalnızca gözlemlere (XiX_i) dayanır. W4W_4 formülünün α\alpha ile analitik veya sezgisel bir yakınlığı olmasa dahi, matematiksel olarak geçerli bir istatistiktir ve α\alpha için teknik bağlamda bir nokta tahmin edici adayı olarak literatüre sunulabilir. Seçenek bu kuralı eksiksiz tanımlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Nokta tahmin edici ve istatistik kavramlarının temel tanımlarını hatırlamak.
Bir fonksiyonun istatistik (ve dolayısıyla nokta tahmin edici adayı) olabilmesi için kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi ve sadece örneklem gözlemlerine (XiX_i) bağlı olması gerektiği tespit edilir.
Teorik tanım sınırlarını belirleyerek seçeneklerdeki fonksiyonların geçerliliğini test etmek.
2
Verilen fonksiyonları (W1,W2,W3,W4W_1, W_2, W_3, W_4) parametre bağımlılığı açısından incelemek.
W1W_1 fonksiyonunun bilinmeyen β\beta parametresini, W2W_2 fonksiyonunun ise bilinmeyen α\alpha parametresini içerdiği görülür. W3W_3 ve W4W_4 ise yalnızca XiX_i değerlerine bağlıdır.
Hangi fonksiyonların geçerli birer istatistik olduğunu ayıklamak.
3
Geçerli istatistiklerin tahmin edici niteliğini değerlendirmek.
W3W_3 ve W4W_4 bilinmeyen parametre içermediklerinden tanım gereği istatistiktir. Bir istatistik, sezgisel bir bağlam taşımasa dahi teorik olarak nokta tahmin edici adayı olarak sunulabilir.
Tahmin edici tanımının kısıtlayıcı olmadığını, sadece istatistik olma şartına bağlı olduğunu teyit etmek.
4
Diğer seçeneklerdeki teorik özellikleri analiz edip elemeleri gerçekleştirmek.
MSE'nin her zaman varyansa eşit olduğu (yanlış), yansızlığın kesin tutarlılık getirdiği (yanlış), tamlık olmadan UMVUE olunacağı (yanlış) yargıları tespit edilerek yanlış seçenekler doğrulanır.
İstatistiksel tahmin kuramının MSE, tutarlılık ve Lehmann-Scheffe teoremi altındaki sınırlamalarını doğru uygulamak.

Anahtar Kavram

İstatistik ve Nokta Tahmin Edici Kavramlarının Matematiksel Sınırları
Bu soruyu puanla

Konular

Nokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

Bu konudan daha fazla soru