Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtokorelasyon Tespiti (Testler) ve Giderme Yöntemleri

Bir araştırmacı, zaman serisi verileri kullanarak Yt=β0+β1X1t+β2X2t+utY_t = \beta_0 + \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + u_t modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Modelin kalıntıları üzerinden hesaplanan Durbin-Watson dd istatistiği 0.100.10 bulunmuştur.

Araştırmacı, otokorelasyon katsayısını (ρ\rho) iteratif algoritmalarla (örneğin Cochrane-Orcutt) tahmin etmek yerine, elde ettiği dd istatistiğinin işaret ettiği sınır durumu dikkate alarak modele doğrudan teorik bir dönüşüm (genelleştirilmiş fark denklemi) uygulamaya karar vermiştir.

Buna göre, araştırmacının modeldeki otokorelasyon sorununu gidermek için uygulaması gereken en uygun dönüşüm denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: vtv_t, klasik varsayımları sağlayan ardışık bağımlı olmayan hata terimidir.)

  1. A
    Yt−0.10Yt−1=0.90β0+β1(X1t−0.10X1t−1)+β2(X2t−0.10X2t−1)+vtY_t - 0.10 Y_{t-1} = 0.90\beta_0 + \beta_1 (X_{1t} - 0.10 X_{1t-1}) + \beta_2 (X_{2t} - 0.10 X_{2t-1}) + v_t
  2. B
    Yt−Yt−1=β0+β1(X1t−X1t−1)+β2(X2t−X2t−1)+vtY_t - Y_{t-1} = \beta_0 + \beta_1 (X_{1t} - X_{1t-1}) + \beta_2 (X_{2t} - X_{2t-1}) + v_t
  3. C
    Yt+Yt−1=2β0+β1(X1t+X1t−1)+β2(X2t+X2t−1)+vtY_t + Y_{t-1} = 2\beta_0 + \beta_1 (X_{1t} + X_{1t-1}) + \beta_2 (X_{2t} + X_{2t-1}) + v_t
  4. Yt−Yt−1=β1(X1t−X1t−1)+β2(X2t−X2t−1)+vtY_t - Y_{t-1} = \beta_1 (X_{1t} - X_{1t-1}) + \beta_2 (X_{2t} - X_{2t-1}) + v_tCevap
  5. E
    YtX1t=β0X1t+β1+β2(X2tX1t)+utX1t\frac{Y_t}{X_{1t}} = \frac{\beta_0}{X_{1t}} + \beta_1 + \beta_2 \left(\frac{X_{2t}}{X_{1t}}\right) + \frac{u_t}{X_{1t}}

Cevap

Sabit terimin bulunmadığı, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin ardışık farklarının alındığı birinci farklar (first difference) denklemi doğru dönüşümdür.
Durbin-Watson istatistiğinin 0.10 gibi 0'a çok yakın bir değer alması, modeldeki hatalar arasında tam pozitif otokorelasyona (ρ≈1\rho \approx 1) işaret eder. Bu durumu gidermenin teorik olarak en tutarlı yolu genelleştirilmiş fark denklemini ρ=1\rho = 1 varsayımı ile çözmektir. Bu işlem yapıldığında, β0(1−1)\beta_0(1-1) işlemi sonucunda sabit terim sıfırlanır ve geriye sadece bağımlı ve bağımsız değişkenlerin birbiri ardına gelen dönemlerindeki farklarını (Δ\Delta) içeren sabitsiz regresyon denklemi kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Durbin-Watson istatistiği ile otokorelasyon katsayısı arasındaki ilişkiyi kur.
d≈2(1−ρ^)d \approx 2(1 - \hat{\rho})
Durbin-Watson istatistiği, ardışık hatalar arasındaki korelasyonun (ρ\rho) yönünü ve büyüklüğünü yaklaşık olarak tahmin etmemizi sağlar.
2
Verilen d değerini formülde yerine koyarak ρ^\hat{\rho} değerini hesapla.
0.10≈2(1−ρ^)⇒0.05≈1−ρ^⇒ρ^≈0.950.10 \approx 2(1 - \hat{\rho}) \Rightarrow 0.05 \approx 1 - \hat{\rho} \Rightarrow \hat{\rho} \approx 0.95
Uygulanacak dönüşüm yöntemini belirlemek için otokorelasyon katsayısının teorik sınırlarına ne kadar yakın olduğunu görmek gerekir.
3
Bulunan ρ\rho değerine göre en uygun pratik dönüşüm yöntemini seç.
ρ≈1\rho \approx 1 olduğu için 'Birinci Farklar (First Difference)' yöntemi uygundur.
ρ\rho katsayısı 1'e çok yakın olduğunda iteratif hesaplamalar yerine değişkenlerin birinci farklarını almak, otokorelasyonu gidermek için asimptotik olarak geçerli ve pratik bir yaklaşımdır.
4
Genelleştirilmiş fark denklemini ρ=1\rho = 1 varsayımı altında yaz.
Yt−1⋅Yt−1=β0(1−1)+β1(X1t−1⋅X1t−1)+β2(X2t−1⋅X2t−1)+vtY_t - 1 \cdot Y_{t-1} = \beta_0(1-1) + \beta_1 (X_{1t} - 1 \cdot X_{1t-1}) + \beta_2 (X_{2t} - 1 \cdot X_{2t-1}) + v_t
Dönüşüm denklemi, orijinal modelin (t)(t) döneminden, (t−1)(t-1) döneminin ρ\rho ile çarpılmış halinin çıkarılmasıyla elde edilir.
5
Denklemi sadeleştirerek son formunu bul.
Yt−Yt−1=β1(X1t−X1t−1)+β2(X2t−X2t−1)+vtY_t - Y_{t-1} = \beta_1 (X_{1t} - X_{1t-1}) + \beta_2 (X_{2t} - X_{2t-1}) + v_t
β0(1−1)=0\beta_0(1-1) = 0 olduğu için sabit terim denklemden tamamen düşer. Dönüştürülmüş model sabitsiz ve ardışık farklara dayalı bir modeldir.

Anahtar Kavram

Genelleştirilmiş Fark Denklemi ve Durbin-Watson İstatistiği İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Otokorelasyon Tespiti (Testler) ve Giderme Yöntemleri