Examkin

Soru

Zorluk: ZorARMA Modelleri

Bir makroekonomik değişkenin davranışını inceleyen bir uzman, durağan olduğunu varsaydığı YtY_t zaman serisinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) her ikisinin de sönümlenerek azaldığını belirlemiş ve seriye bir ARMA(2, 1) modeli kurmaya karar vermiştir.

Analiz sonucunda elde edilen tahminlere göre, aşağıdaki modellerden hangisi hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarını eşanlı olarak sağlamaktadır?

(Not: BB, gecikme operatörünü ve εt\varepsilon_t, beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

  1. (1−0.8B+0.15B2)Yt=(1+0.4B)εt(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_tCevap
  2. B
    (1−1.2B+0.5B2)Yt=(1−1.5B)εt(1 - 1.2B + 0.5B^2)Y_t = (1 - 1.5B)\varepsilon_t
  3. C
    (1−0.5B−0.6B2)Yt=(1−0.8B)εt(1 - 0.5B - 0.6B^2)Y_t = (1 - 0.8B)\varepsilon_t
  4. D
    (1−1.5B−0.2B2)Yt=(1−1.3B)εt(1 - 1.5B - 0.2B^2)Y_t = (1 - 1.3B)\varepsilon_t
  5. E
    (1+0.3B−0.8B2)Yt=(1+0.5B)εt(1 + 0.3B - 0.8B^2)Y_t = (1 + 0.5B)\varepsilon_t

Cevap

(1−0.8B+0.15B2)Yt=(1+0.4B)εt(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t modeli hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarını eşanlı olarak sağlar.
Doğru modelde, karakteristik AR denklemi (1−0.8B+0.15B2)(1 - 0.8B + 0.15B^2) şeklindedir. ϕ1=0.8\phi_1=0.8 ve ϕ2=−0.15\phi_2=-0.15 iken ϕ1+ϕ2=0.65<1\phi_1+\phi_2=0.65<1, ϕ2−ϕ1=−0.95<1\phi_2-\phi_1=-0.95<1 ve ∣ϕ2∣=0.15<1|\phi_2|=0.15<1 eşitsizlikleri eşanlı sağlandığı için süreç durağandır. Benzer şekilde karakteristik MA denklemi (1+0.4B)(1 + 0.4B) kökü mutlak değerce 1'den büyük olduğu için (katsayı ∣0.4∣<1|0.4|<1) süreç tersine çevrilebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1
ARMA(2,1) modelinin genel yapısında durağanlık ve tersine çevrilebilirlik koşullarını belirlemek.
Durağanlık için AR katsayıları ϕ1+ϕ2<1\phi_1+\phi_2<1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2-\phi_1<1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2|<1 olmalıdır. Tersine çevrilebilirlik için MA katsayısının mutlak değeri ∣θ1∣<1|\theta_1|<1 olmalıdır.
Model (1−ϕ1B−ϕ2B2)Yt=(1+θ1B)εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = (1 + \theta_1 B)\varepsilon_t formunda yazıldığında, karakteristik polinom köklerinin birim çemberin dışında yer alması bu eşitsizlikleri gerektirir.
2
Seçeneklerdeki modellerin AR kısımlarının durağanlık koşullarını test etmek.
Sadece (1−0.8B+0.15B2)(1 - 0.8B + 0.15B^2) ve (1−1.2B+0.5B2)(1 - 1.2B + 0.5B^2) terimlerini içeren modeller üç durağanlık koşulunu da aynı anda sağlamaktadır.
Durağanlık için gerekli üç AR(2) eşitsizlik kısıtının da aynı anda sağlanması şarttır.
3
Durağanlığı sağlayan modeller arasında MA kısmının tersine çevrilebilirlik koşulunu test etmek.
Durağan olan (1−0.8B+0.15B2)Yt=(1+0.4B)εt(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t modelinde MA katsayısı ∣0.4∣<1|0.4| < 1 olduğu için süreç aynı zamanda tersine çevrilebilirdir. Diğer durağan modelde ise ∣−1.5∣>1|-1.5| > 1 olduğundan tersine çevrilebilirlik sağlanmaz.
Tersine çevrilebilirlik için karakteristik MA denkleminin kökü birim çemberin dışında yer almalı, yani katsayının mutlak değeri 1'den küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersine Çevrilebilirlik Koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

ARMA Modelleri

Bu konudan daha fazla soru