Türk Standardları Enstitüsü (TSE) uzmanları, belirli bir coğrafi bölgede faaliyet gösteren… — KPSS İstatistik

Türk Standardları Enstitüsü (TSE) uzmanları, belirli bir coğrafi bölgede faaliyet gösteren çok sayıdaki hazır beton santrali arasından rastgele 5 santral seçmiştir. Bu santrallerin ürettiği standart C30 sınıfı betonlardan rastgele numuneler alınarak 28 günlük basınç dayanımları ölçülmüştür.

Çeşitli lojistik kısıtlar nedeniyle her santralden alınan numune sayısı farklılık göstermiş olup veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Santral	Alınan Numune Sayısı ( $n_i$ )
1	2
2	2
3	6
4	6
5	8

Uzmanlar, toplanan verileri tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile inceleyecektir.

Şansa bağlı (tesadüfi) etkili modele göre, santraller arası varyans bileşeninin ( $\sigma_\tau^2$ ) yansız bir tahmin edicisini hesaplamak için kullanılması gereken formül aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $KO_{Santral}$ = Santral Kareler Ortalaması, $KO_{Hata}$ = Hata Kareler Ortalaması)

$\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}$ Cevap
B
$\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,8}$
C
$\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4}$
D
$\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{5}$
E
$\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{6}$

Cevap

Dengesiz tesadüfi etkili modelde varyans bileşeni tahmin edicisi

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}

formülü ile elde edilir.

Soruda çok sayıdaki santral arasından rastgele 5 santralin seçildiği belirtildiği için Tek Yönlü Tesadüfi Etkili Model (Model II) söz konusudur. Tesadüfi etkili modellerde Santral Kareler Ortalamasının Beklenen Değeri

E(KO_{Santral}) = \sigma^2 + n_0\sigma_\tau^2

eşitsizliği ile ifade edilir. Gözlem sayıları eşit olmadığı (dengesiz) için

n_0

değeri

\frac{N - (\sum n_i^2 / N)}{a-1}

formülü ile hesaplanmalıdır. Gözlem değerleri

N=24

a=5

olarak verildiğinden;

\sum n_i^2 = 4 + 4 + 36 + 36 + 64 = 144

olur. Bu değerler formülde yerine konduğunda

n_0 = \frac{24 - (144/24)}{4} = \frac{24 - 6}{4} = 4,5

bulunur. Varyans bileşeni

\sigma_\tau^2

'yi tahmin etmek için

E(KO_{Santral}) - E(KO_{Hata})

farkı

n_0

'a bölünmelidir, bu da

\frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Model tipini ve deneme tasarımını belirleyin.

Araştırmada 'çok sayıdaki santral arasından rastgele 5 santral' seçildiği için Tek Yönlü Tesadüfi Etkili Model (Random Effects Model) söz konusudur. Numune sayıları farklı olduğu için tasarım dengesizdir (unbalanced).

Beklenen kareler ortalaması (E(MS)) formülleri, modelin sabit/tesadüfi olmasına ve tasarımın dengeli/dengesiz olmasına göre değişir.

Dengesiz tesadüfi etkili model için Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) denklemlerini yazın.

E(KO_{Santral}) = \sigma^2 + n_0\sigma_\tau^2

E(KO_{Hata}) = \sigma^2

denklemleri geçerlidir.

Varyans bileşenini (

\sigma_\tau^2

) bulmak için

E(KO_{Santral})

denklemindeki yalnız bırakma işlemini kurgulamak gerekir:

\sigma_\tau^2 = \frac{E(KO_{Santral}) - E(KO_{Hata})}{n_0}

Toplam gözlem sayısını (

N

) ve numune kareleri toplamını (

\sum n_i^2

) hesaplayın.

N = 2 + 2 + 6 + 6 + 8 = 24

. Numune kareleri toplamı:

\sum n_i^2 = 2^2 + 2^2 + 6^2 + 6^2 + 8^2 = 4 + 4 + 36 + 36 + 64 = 144

n_0

katsayısını hesaplamak için formülün ihtiyaç duyduğu parametreleri bulmalıyız.

Dengesiz modeldeki

n_0

katsayısını formülüne uygun şekilde hesaplayın.

n_0 = \frac{1}{a-1} \left( N - \frac{\sum n_i^2}{N} \right) = \frac{1}{5-1} \left( 24 - \frac{144}{24} \right) = \frac{24 - 6}{4} = \frac{18}{4} = 4,5

E(MS) katsayısı dengeli modellerde standart n iken, dengesiz modellerde bu özel ağırlıklandırma formülü ile bulunur.

Varyans bileşeninin yansız tahmin edicisi için denklemi kurun.

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{n_0} = \frac{KO_{Santral} - KO_{Hata}}{4,5}

formülü elde edilir.

İstatistiksel olarak popülasyon varyans bileşeninin yansız tahmin edicisi, örneklemden elde edilen kareler ortalamalarının beklenen değerleri yerine konmasıyla oluşturulur.

Anahtar Kavram

Dengesiz Tesadüfi Etkili Modellerde Beklenen Kareler Ortalamaları ve Varyans Bileşeni Tahmini

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru