Examkin

Soru

Zorluk: ZorDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bir üretim işletmesi için oluşturulan doğrusal programlama primal modeli aşağıda verilmiştir:

Maks Z=7x1+3x2−5x3\text{Maks } Z = 7x_1 + 3x_2 - 5x_3
Kısıtlar:
2x1−x2+4x3≤252x_1 - x_2 + 4x_3 \leq 25
x1+3x2−x3≥12x_1 + 3x_2 - x_3 \geq 12
x1≥0, x2 is¸aretsiz, x3≤0x_1 \geq 0, \ x_2 \text{ işaretsiz}, \ x_3 \leq 0

Buna göre, bu primal modele ait dual (ikil) model aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Min W=25y1+12y22y1+y2≥7−y1+3y2=34y1−y2≤−5y1≥0, y2≤0\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 = 3 \\ 4y_1 - y_2 \leq -5 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 \leq 0 \end{array}Cevap
  2. B
    Min W=25y1+12y22y1+y2≥7−y1+3y2=34y1−y2≤−5y1,y2≥0\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 = 3 \\ 4y_1 - y_2 \leq -5 \\ y_1, y_2 \geq 0 \end{array}
  3. C
    Min W=25y1+12y22y1+y2≥7−y1+3y2≥34y1−y2≥−5y1≥0, y2≤0\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 \geq 3 \\ 4y_1 - y_2 \geq -5 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 \leq 0 \end{array}
  4. D
    Min W=25y1+12y22y1+y2≥7−y1+3y2≥34y1−y2≤−5y1≥0, y2 is¸aretsiz\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 \geq 3 \\ 4y_1 - y_2 \leq -5 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 \text{ işaretsiz} \end{array}
  5. E
    Min W=25y1+12y22y1+y2≥7−y1+3y2=34y1−y2≥−5y1,y2≥0\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 = 3 \\ 4y_1 - y_2 \geq -5 \\ y_1, y_2 \geq 0 \end{array}

Cevap

Doğru dual modelde amaç fonksiyonu Min W = 25y₁ + 12y₂, kısıtlar 2y₁ + y₂ ≥ 7, -y₁ + 3y₂ = 3, 4y₁ - y₂ ≤ -5 şeklinde olmalı ve değişken işaretleri y₁ ≥ 0, y₂ ≤ 0 olarak belirlenmelidir.
Primal model Maksimum yapısında olduğundan dual model Minimum olur. Primal kısıtlarındaki (≤) yönü y₁ ≥ 0, (≥) yönü ise y₂ ≤ 0 olmasını gerektirir. Primal değişkenlerden x₁ ≥ 0 olduğu için birinci dual kısıt (≥), x₂ işaretsiz olduğu için ikinci dual kısıt (=), x₃ ≤ 0 olduğu için üçüncü dual kısıt (≤) olmalıdır. Verilen katsayılarla kısıtlar transpoze edilerek oluşturulduğunda doğru yapı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunu dönüştür.
Min W = 25y₁ + 12y₂ elde edilir.
Primal model 'Maksimum' olduğundan dual model 'Minimum' olur. Primal kısıtların sağ taraf sabitleri (25 ve 12), dual amaç fonksiyonunun katsayılarına dönüşür.
2
Dual değişkenlerin işaretlerini belirle.
y₁ ≥ 0 ve y₂ ≤ 0 olarak bulunur.
Maksimum primal modelde (≤) yönlü kısıt ≥ 0 değerli dual değişken, (≥) yönlü kısıt ise ≤ 0 değerli dual değişken üretir.
3
Dual kısıtların yönlerini belirle.
1. kısıt (≥), 2. kısıt (=) ve 3. kısıt (≤) olur.
Primal değişken x₁ ≥ 0 olduğundan 1. kısıt (≥), x₂ işaretsiz olduğundan 2. kısıt (=), x₃ ≤ 0 olduğundan 3. kısıt (≤) olarak kurgulanır.
4
Dual kısıt denklemlerini katsayı matrisinin transpozu ile oluştur.
2y₁ + y₂ ≥ 7, -y₁ + 3y₂ = 3 ve 4y₁ - y₂ ≤ -5 eşitsizlikleri yazılır.
Primal modelin x₁, x₂ ve x₃ sütun katsayıları sırasıyla dual modelin 1., 2. ve 3. satır katsayılarına dönüşür. Eşitsizliklerin sağ taraf sabitleri ise primal amaç fonksiyonunun katsayılarından (7, 3, -5) alınır.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada primal (Maksimum) modelden dual (Minimum) modele geçiş kuralları şöyledir:

Primal Model (Maksimum)Dual Model (Minimum)
i.i. Kısıt ≤\leqyi≥0y_i \geq 0
i.i. Kısıt ≥\geqyi≤0y_i \leq 0
i.i. Kısıt ==yiy_i işaretsiz
xj≥0x_j \geq 0j.j. Kısıt ≥\geq
xj≤0x_j \leq 0j.j. Kısıt ≤\leq
xjx_j işaretsizj.j. Kısıt ==
Bu soruyu puanla

Konular

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bu konudan daha fazla soru