Bir finansal analist, iki farklı yatırım aracına ait getiri serilerini durağanlaştırdıktan… — KPSS İstatistik

Bir finansal analist, iki farklı yatırım aracına ait getiri serilerini durağanlaştırdıktan sonra elde ettiği $X_t$ ve $Y_t$ serilerinin stokastik süreçlerini aşağıdaki gibi modellemiştir:

Model I: $X_t = 0.8 X_{t-1} - 0.4 X_{t-2} + \varepsilon_t$
Model II: $Y_t = \varepsilon_t - 0.5 \varepsilon_{t-1} + 0.2 \varepsilon_{t-2}$

(Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve $\sigma^2$ varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Buna göre, bu iki modelin teorik otokorelasyon ( $ACF$ ) ve kısmi otokorelasyon ( $PACF$ ) fonksiyonlarının davranışları dikkate alındığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$X_t$ serisinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( $PACF$ ) 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, $Y_t$ serisinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu sönümlenerek uzanır.Cevap
B
$X_t$ serisinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( $PACF$ ) sönümlenerek uzanırken, $Y_t$ serisinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilir.
C
$X_t$ serisinin otokorelasyon fonksiyonu ( $ACF$ ) 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( $PACF$ ) sönümlenerek uzanır.
D
$Y_t$ serisinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( $PACF$ ) 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, otokorelasyon fonksiyonu ( $ACF$ ) sönümlenerek uzanır.
E
Her iki serinin de kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( $PACF$ ) sönümlenerek uzanır, sıfıra kesilme davranışı yalnızca otokorelasyon fonksiyonlarında ( $ACF$ ) görülür.

Cevap

X_t

serisi bir 2. dereceden otoregresif (AR(2)) süreci olduğu için PACF grafiği 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilir.

Y_t

serisi ise bir 2. dereceden hareketli ortalama (MA(2)) süreci olduğu için PACF grafiği sönümlenerek uzanır.

Verilen denklemler incelendiğinde

X_t

serisi 2. dereceden otoregresif bir süreç (AR(2)),

Y_t

serisi ise 2. dereceden hareketli ortalama sürecidir (MA(2)). Zaman serileri teorisine göre, AR(p) süreçlerinde kısmi otokorelasyon fonksiyonu (

PACF

)

p

. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilir (cut-off). Bu nedenle

X_t

'nin

PACF

'si 2. gecikmeden sonra teorik olarak sıfır olur. Diğer yandan MA(q) süreçlerinde

PACF

sıfıra kesilmez, dalgalanarak veya üstel olarak sönümlenerek sonsuza uzanır (tail-off).

Y_t

serisi bir MA(2) süreci olduğu için

PACF

'si sönümlenerek uzanır. İfade edilen bu teorik özelliklerin tümünü barındıran seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

Birinci modelin (

X_t

) veri üretim sürecinin türünü belirleme.

X_t

sürecinin sadece geçmiş iki gözlem değerine (

X_{t-1}, X_{t-2}

) ve güncel hata terimine bağlı olduğu görülür. Bu yapı bir Otoregresif (AR(2)) modeldir.

Zaman serisi analizinde otokorelasyon yapılarını incelemeden önce sürecin formunu doğru sınıflandırmak şarttır.

İkinci modelin (

Y_t

) veri üretim sürecinin türünü belirleme.

Y_t

sürecinin sadece güncel ve geçmiş iki hata terimine (

\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t-2}

) bağlı olduğu görülür. Bu yapı bir Hareketli Ortalama (MA(2)) modelidir.

MA modellerinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon davranışları AR modellerinden teorik olarak tamamen farklıdır.

AR(2) modeli için PACF ve ACF'nin teorik davranışını değerlendirme.

AR(p) süreçlerinde Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) 'p.' gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilirken (cut-off), Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) sönümlenerek uzanır (tail-off). Bu sebeple

X_t

'nin PACF'si 2. gecikmeden sonra sıfır olur.

PACF, aradaki gecikmelerin etkisi arındırıldıktan sonraki korelasyonu ölçtüğü için AR süreçlerinde model derecesini net olarak gösterir.

MA(2) modeli için PACF ve ACF'nin teorik davranışını değerlendirme.

MA(q) süreçlerinde ACF 'q.' gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, PACF dalgalanarak veya üstel bir şekilde sönümlenerek uzanır. Bu sebeple

Y_t

'nin PACF'si sönümlenme eğilimindedir.

MA süreçleri sonsuz dereceli bir AR sürecine dönüştürülebildiği (tersinirlik koşulu altında) için kısmi korelasyonları asla tam olarak sıfıra inmez.

Anahtar Kavram

AR ve MA Modellerinde PACF ve ACF Davranışlarının Karşılaştırmalı Analizi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru