Bir simülasyon çalışmasında, [0, 1] aralığında standart düzgün dağılıma sahip U rastgele s… — KPSS İstatistik

Bir simülasyon çalışmasında, $[0, 1]$ aralığında standart düzgün dağılıma sahip $U$ rastgele sayıları üretilmiştir. Bu sayılar kullanılarak, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = 2x, \ (0 < x < 1)$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkenine ait değerler elde edilmek istenmektedir. Ters dönüşüm yöntemi (Inverse Transform Method) esas alındığında, $X$ değişkenini $U$ cinsinden ifade eden eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?

$X = \sqrt{U}$ Cevap
B
$X = U^2$
C
$X = 2U$
D
$X = \frac{U}{2}$
E
$X = 1 - U$

Cevap

İstenen dönüşüm eşitliği

X = \sqrt{U}

şeklindedir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x) = 2x

integrali alındığında birikimli dağılım fonksiyonu

F(x) = x^2

olarak bulunur. Olasılık integral dönüşümü prensibi gereği

Y = F(X)

değişkeni

[0, 1]

aralığında düzgün dağılıma sahiptir. Simülasyon amacıyla bu ilişki tersine çevrildiğinde (

X = F^{-1}(U)

X^2 = U

eşitliğinden

X = \sqrt{U}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) hesaplanması

F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = x^2

Olasılık integral dönüşümü ve ters dönüşüm yöntemi için öncelikle değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu bulunmalıdır.

F(X) = U

eşitliğinin kurulması

X^2 = U

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu, standart düzgün dağılım sergilediği için

F(X)

ifadesi

U

değişkenine eşitlenir.

X

değişkeninin

U

cinsinden yalnız bırakılması

X = \sqrt{U}

Simülasyonda hedef dağılımdan örnekler üretmek için birikimli dağılım fonksiyonunun tersi (

F^{-1}

) alınarak

U

değerleri

X

değerlerine dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru