Examkin

Soru

Zorluk: Zor(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir limanda yük boşaltma işlemi için 22 adet rıhtım (c=2c=2) bulunmaktadır. Limanın fiziksel koşulları gereği rıhtımda boşaltma yapanlar da dâhil olmak üzere liman sahasında en fazla 33 gemi (K=3K=3) bulunabilmektedir. Gelen gemilerin varışları günlük ortalama 22 gemi olacak şekilde Poisson dağılımına uymakta, her bir rıhtımın boşaltma süresi ise üstel dağılıma uymakta olup bir rıhtımın hizmet hızı günlük ortalama 22 gemidir.

Kapasite dolu olduğunda limana gelen gemiler başka bir limana yönlendirilmektedir.

Buna göre, gelen bir geminin başka bir limana yönlendirilme olasılığı kaçtır?

  1. A
    116\frac{1}{16}
  2. B
    112\frac{1}{12}
  3. 111\frac{1}{11}Cevap
  4. D
    14\frac{1}{4}
  5. E
    411\frac{4}{11}

Cevap

Sistemin tam dolu olması (K=3K=3) nedeniyle gelen bir geminin geri çevrilme (yönlendirilme) olasılığı 111\frac{1}{11}'dir.
Çok kanallı ve sonlu kapasiteli (M/M/c/K) kuyruk modelinde, sisteme gelen bir birimin geri çevrilme olasılığı sistemin tam dolu olma olasılığına (PKP_K) eşittir. Verilen parametreler c=2c=2, K=3K=3, λ=2\lambda=2 ve μ=2\mu=2 olarak tanımlandığında, trafik yoğunluğu r=1r=1 olur. İlgili formül yardımıyla önce sistemin boş kalma olasılığı (P0=4/11P_0 = 4/11) bulunur, ardından n=3n=3 için olasılık denklemi kurularak sistemin dolu olma olasılığı olan P3=1/11P_3 = 1/11 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyruk sistemi temel parametrelerini belirleme
λ=2\lambda = 2 gemi/gün, μ=2\mu = 2 gemi/gün, kanal sayısı c=2c = 2, sistem kapasitesi K=3K = 3
Model tipinin (M/M/2/3) tanımlanması ve formüllerin doğru uygulanabilmesi için temel değişkenlerin tespit edilmesi gerekir.
2
Trafik yoğunluğu (rr) ve sistem kullanım oranını (ρ\rho) hesaplama
r=λμ=22=1r = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{2}{2} = 1 ve ρ=rc=12=0.5\rho = \frac{r}{c} = \frac{1}{2} = 0.5
P0P_0 ve diğer durum olasılıklarının hesaplanmasında kullanılacak temel oranların bulunması.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) veren toplam formülünü kurma
P0=[∑n=011nn!+122!∑n=23(12)n−2]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{1} \frac{1^n}{n!} + \frac{1^2}{2!} \sum_{n=2}^{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \right]^{-1}
Çok kanallı ve sonlu kapasiteli modellerde PnP_n olasılıklarını bulmak için öncelikle normalizasyon katsayısı olan P0P_0'ın bilinmesi zorunludur.
4
P0P_0 denklemini çözerek sistemin boş kalma olasılığını hesaplama
P0=[1+1+12((12)0+(12)1)]−1=[2+12(1+0.5)]−1=[2.75]−1=411P_0 = \left[ 1 + 1 + \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^0 + \left(\frac{1}{2}\right)^1 \right) \right]^{-1} = \left[ 2 + \frac{1}{2}(1 + 0.5) \right]^{-1} = \left[ 2.75 \right]^{-1} = \frac{4}{11}
Sistemin tamamen dolu olma olasılığını (P3P_3) formül üzerinden elde edebilmek için P0P_0'ın sayısal değerine ihtiyaç vardır.
5
Gelen bir geminin başka limana yönlendirilme olasılığını (P3P_3) hesaplama
P3=r3c!c3−cP0=132!⋅21⋅411=14⋅411=111P_3 = \frac{r^3}{c! c^{3-c}} P_0 = \frac{1^3}{2! \cdot 2^1} \cdot \frac{4}{11} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{11} = \frac{1}{11}
Sistem kapasitesi K=3K=3 olduğunda gelen müşteri (gemi) sisteme kabul edilmez, bu nedenle yönlendirilme olasılığı sistemin n=3n=3 durumunda olma olasılığına eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Kuyruk Modeli
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru