Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık İntegral Dönüşümü
Bir sismoloji araştırma merkezinde, belirli bir fay hattındaki depremlerin merkez üssüne olan uzaklıkları (kilometre cinsinden) sürekli bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f(x)={x8e−x216,x>00,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} \frac{x}{8} e^{-\frac{x^2}{16}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
şeklinde verilmiştir.
Bu uzaklıkları bir bilgisayar programında simüle etmek için (0,1)(0,1) aralığında düzgün dağılımlı UU rastgele sayıları üretilmektedir.
Buna göre, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemi kullanılarak F(X)=UF(X) = U eşitliğinden doğrudan elde edilecek X=F−1(U)X = F^{-1}(U) simülasyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    X=−16ln⁡(1−U)X = -16\ln(1-U)
  2. B
    X=1−e−U216X = 1 - e^{-\frac{U^2}{16}}
  3. X=4−ln⁡(1−U)X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}Cevap
  4. D
    X=14−ln⁡(1−U)X = \frac{1}{4}\sqrt{-\ln(1-U)}
  5. E
    X=−ln⁡(1−U)X = \sqrt{-\ln(1-U)}

Cevap

Doğru simülasyon denklemi X=4−ln⁡(1−U)X = 4\sqrt{-\ln(1-U)} formülüdür.
Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yönteminde, sürekli bir rastgele değişkenin simülasyonu için öncelikle birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) hesaplanır. Verilen f(x)=x8e−x2/16f(x) = \frac{x}{8} e^{-x^2/16} fonksiyonunun 0'dan xx'e integrali (u=t2/16u = t^2/16 dönüşümü yapılarak) alındığında F(x)=1−e−x2/16F(x) = 1 - e^{-x^2/16} bulunur. Simülasyon gerçekleştirmek için F(X)=UF(X) = U eşitliği kurulur: 1−e−X2/16=U1 - e^{-X^2/16} = U. Buradan üslü ifade yalnız bırakılırsa e−X2/16=1−Ue^{-X^2/16} = 1 - U elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritması (lnln) alındığında −X216=ln⁡(1−U)-\frac{X^2}{16} = \ln(1-U) denklemine ulaşılır. İçler dışlar çarpımıyla X2=−16ln⁡(1−U)X^2 = -16\ln(1-U) olur. Uzaklık negatif olamayacağından (X>0X>0) karekök alınarak doğru simülasyon denklemi X=4−ln⁡(1−U)X = 4\sqrt{-\ln(1-U)} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonundan (PDF) integral alınarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplamak.
F(x)=∫0xt8e−t2/16dt=[−e−t2/16]0x=1−e−x2/16F(x) = \int_0^x \frac{t}{8} e^{-t^2/16} dt = \left[-e^{-t^2/16}\right]_0^x = 1 - e^{-x^2/16}
Ters dönüşüm yöntemi F(x)F(x) üzerinden çalıştığı için öncelikle sürekli rastgele değişkenin birikimli olasılık fonksiyonu bulunmalıdır.
2
Ters dönüşüm yöntemi kuralı gereği elde edilen CDF fonksiyonunu UU rastgele değişkenine eşitlemek.
1−e−X2/16=U1 - e^{-X^2/16} = U
U∼Uniform(0,1)U \sim Uniform(0,1) sayılarını istenen Rayleigh dağılımına dönüştürmek için F(X)=UF(X) = U temel denklemi kurulur.
3
Kurulan eşitlikten XX değişkenini cebirsel işlemlerle yalnız bırakarak ters fonksiyonu, yani F−1(U)F^{-1}(U)'yu bulmak.
e−X2/16=1−U  ⟹  −X216=ln⁡(1−U)  ⟹  X2=−16ln⁡(1−U)  ⟹  X=4−ln⁡(1−U)e^{-X^2/16} = 1 - U \implies -\frac{X^2}{16} = \ln(1-U) \implies X^2 = -16\ln(1-U) \implies X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}
Simülasyon programında üretilen her düzgün UU sayısına karşılık gelen tekil bir XX uzaklık değeri üretebilmek için XX formülize edilmelidir.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık İntegral Dönüşümü

Bu konudan daha fazla soru