Examkin

Soru

Zorluk: OrtaI. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilen belirli bir işlemin tamamlanma süresi (saat cinsinden) XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. XX rassal değişkeninin (0,θ)(0, \theta) aralığında bir düzgün dağılıma (Uniform) sahip olduğu bilinmektedir.

Kurum, ortalama işlem süresinin hedeflenenin üzerine çıkıp çıkmadığını değerlendirmek için tek bir XX gözlemine dayanarak aşağıdaki hipotezleri test etmek istemektedir:
H0:θ=2H_0 : \theta = 2
H1:θ=4H_1 : \theta = 4

Bu test için X>cX > c şeklindeki bir ret bölgesi kullanılarak anlamlılık düzeyi α=0,10\alpha = 0,10 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu testin II. Tip Hata olasılığı (β\beta) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,05
  2. 0,45Cevap
  3. C
    0,55
  4. D
    0,90
  5. E
    0,95

Cevap

0,45
I. Tip Hata (α\alpha) kullanılarak ret bölgesi (X>cX > c) sınırı c=1,8c = 1,8 olarak bulunur. II. Tip Hata (β\beta), H1H_1 hipotezi doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine düşmeme (X≤1,8X \leq 1,8) olasılığıdır. X∼Uniform(0,4)X \sim \text{Uniform}(0, 4) dağılımında bu alanın olasılığı 1,8/4=0,451,8 / 4 = 0,45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
I. Tip Hata (α\alpha) tanımını kullanarak ret bölgesi sınırı olan cc kritik değerini bulun.
α=P(H0′ı reddet∣H0 dog˘ru)=P(X>c∣θ=2)=0,10\alpha = P(\text{H}_0'\text{ı reddet} \mid H_0 \text{ doğru}) = P(X > c \mid \theta = 2) = 0,10
Anlamlılık düzeyi, H0H_0 hipotezi doğruyken yanlışlıkla reddedilme olasılığıdır.
2
X∼Uniform(0,2)X \sim \text{Uniform}(0, 2) dağılımı altında P(X>c)=0,10P(X > c) = 0,10 denklemini çözerek cc değerini hesaplayın.
∫c212dx=2−c2=0,10  ⟹  2−c=0,20  ⟹  c=1,8\int_{c}^{2} \frac{1}{2} dx = \frac{2 - c}{2} = 0,10 \implies 2 - c = 0,20 \implies c = 1,8. Ret bölgesi: X>1,8X > 1,8
Düzgün dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)=1/θf(x) = 1/\theta'dır. Üst sınır 2 olduğu için integral cc'den 2'ye alınır.
3
II. Tip Hata (β\beta) tanımını yazın.
β=P(H0′ı reddedememe∣H1 dog˘ru)=P(X≤c∣θ=4)\beta = P(\text{H}_0'\text{ı reddedememe} \mid H_1 \text{ doğru}) = P(X \leq c \mid \theta = 4)
II. Tip Hata, gerçekte alternatif hipotez doğru iken test istatistiğinin kabul bölgesine düşme olasılığıdır.
4
X∼Uniform(0,4)X \sim \text{Uniform}(0, 4) dağılımı altında P(X≤1,8)P(X \leq 1,8) olasılığını hesaplayın.
β=∫01,814dx=1,84=0,45\beta = \int_{0}^{1,8} \frac{1}{4} dx = \frac{1,8}{4} = 0,45
Alternatif hipotez altında dağılımın aralığı (0,4)(0, 4) ve yoğunluk fonksiyonu 1/41/4'tür. 00'dan 1,81,8'e kadar bu yoğunluk fonksiyonunun integrali β\beta'yı verir.

Anahtar Kavram

Hipotez testlerinde I. Tip Hata (α\alpha) yardımıyla kritik bölge sınırının bulunması ve II. Tip Hata (β\beta) olasılığının alternatif dağılım altında hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

I. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bu konudan daha fazla soru