Examkin

Soru

Zorluk: KolayDeğişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları

XX ve YY bağımsız sürekli rastgele değişkenlerdir. XX değişkeni (0,1)(0, 1) aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahipken (fX(x)=1f_X(x)=1), YY değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)=2y,0<y<1f_Y(y) = 2y, 0 < y < 1 olarak verilmiştir. Buna göre, Z=XYZ = XY çarpım değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)f_Z(z) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2(1-z), \quad 0 < z < 1Cevap
  2. B
    -2z \ln z, \quad 0 < z < 1
  3. C
    2z(1-z), \quad 0 < z < 1
  4. D
    2z, \quad 0 < z < 1
  5. E
    -\ln z, \quad 0 < z < 1

Cevap

Çarpım değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)=2(1−z),0<z<1f_Z(z) = 2(1-z), 0 < z < 1 şeklindedir.
Verilen yoğunluk fonksiyonları ve bağımsızlık varsayımı altında, Z=XYZ=XY dönüşümü yapıldığında Jakobiyen çarpanı 1/v1/v olur. Ortak yoğunluk 2z/v22z/v^2 ifadesinin vv değişkeninin tanım aralığı olan [z,1][z, 1] üzerinde integrali alındığında 2(1−z)2(1-z) sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirle.
f(x,y)=fX(x)fY(y)=1×2y=2y,0<x,y<1f(x, y) = f_X(x) f_Y(y) = 1 \times 2y = 2y, \quad 0 < x, y < 1
Değişkenler bağımsız olduğu için ortak yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunlukların çarpımına eşittir.
2
Değişken dönüşümü ve Jakobiyen hesapla.
Z=XYZ = XY ve V=XV = X olsun. Buradan X=VX = V ve Y=Z/VY = Z/V elde edilir. Jakobiyen: ∣J∣=∣∂(x,y)∂(z,v)∣=∣det⁡(011/v−z/v2)∣=1/v|J| = |\frac{\partial(x, y)}{\partial(z, v)}| = |\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/v & -z/v^2 \end{pmatrix}| = 1/v
Çarpım dağılımını bulmak için iki değişkenli dönüşüm yöntemi kullanılır.
3
ZZ ve VV değişkenlerinin ortak yoğunluk fonksiyonunu yaz.
f(z,v)=fX(v)fY(z/v)∣J∣=1×2(z/v)×(1/v)=2z/v2f(z, v) = f_X(v) f_Y(z/v) |J| = 1 \times 2(z/v) \times (1/v) = 2z/v^2
Dönüşüm formülü gereği orijinal fonksiyon yeni değişkenler cinsinden yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.
4
Sınırları belirle ve marjinal yoğunluğu bulmak için integral al.
0<z/v<1  ⟹  v>z0 < z/v < 1 \implies v > z olduğu için fZ(z)=∫z12zv2dv=2z[−1v]z1=2z(−1+1z)=2(1−z)f_Z(z) = \int_z^1 \frac{2z}{v^2} dv = 2z [-\frac{1}{v}]_z^1 = 2z(-1 + \frac{1}{z}) = 2(1-z)
Yardımcı değişken üzerinden uygun sınırlar dahilinde integral alınarak hedef değişkenin marjinal dağılımına ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki sürekli rastgele değişkenin çarpımının dağılımı Jakobiyen yöntemiyle bulunur.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemi oran değişkeni (U=X/YU = X/Y) için yaparak bölme işlemlerindeki Jakobiyen farkını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları