Examkin

Soru

Zorluk: KolayOlasılık İntegral Dönüşümü

Akademik bir çalışmada, gözlemlenen sürekli bir XX rastgele değişkeninin tüm değerleri, değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (FF) kullanılarak yeni bir Y=F(X)Y = F(X) değişkenine dönüştürülmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) prensibine göre, elde edilen bu YY değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 00 ile 11 arasında tanımlı sürekli düzgün dağılımCevap
  2. B
    Ortalaması 00 ve varyansı 11 olan normal dağılım
  3. C
    Parametresi 11 olan üstel dağılım
  4. D
    −1-1 ile 11 aralığında tanımlı sürekli düzgün dağılım
  5. E
    Parametresi p=0,5p=0,5 olan binom dağılımı

Cevap

00 ile 11 arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, XX rastgele değişkeni sürekli ise, Y=F(X)Y=F(X) dönüşümü sonucunda elde edilen rastgele değişken her zaman (0,1)(0, 1) aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir. Bu özellik, istatistiksel simülasyonlarda rastgele sayı üretimi için temel teşkil eder.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini tanımla
Y=F(X)Y = F(X)
Soruda verilen olasılık integral dönüşümünün temel formülüdür.
2
Y'nin birikimli dağılım fonksiyonunu (FY(y)F_Y(y)) hesapla
FY(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)
Dağılımı belirlemek için CDF tanımından başlanır.
3
X üzerinden ifadeyi çöz
P(X≤F−1(y))=F(F−1(y))=yP(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y
FF fonksiyonu sürekli ve artan olduğu için tersi alınabilir.
4
Sonucu yorumla
FY(y)=yF_Y(y) = y (burada 0≤y≤10 \leq y \leq 1)
Birikimli dağılım fonksiyonu F(y)=yF(y)=y olan dağılım, U(0,1)U(0,1) düzgün dağılımıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık integral dönüşümü teoremi, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi CDF'si kullanılarak Standart Düzgün Dağılıma (U(0,1)U(0,1)) dönüştürülebileceğini ifade eder.

Alternatif Yöntem

Teoremin tersini düşünerek; eğer U∼U(0,1)U \sim U(0,1) ise X=F−1(U)X = F^{-1}(U) dönüşümünün XX dağılımını verdiğini hatırlamak, F(X)=UF(X)=U ilişkisini kurmayı kolaylaştırabilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık İntegral Dönüşümü

Bu konudan daha fazla soru