Examkin

Soru

Zorluk: Kolay(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir gümrük kapısında araçların evrak kontrollerini yapmak üzere 22 adet özdeş kontrol noktası hizmet vermektedir. Araçların gümrük kapısına varış süreci saatte ortalama 44 araç olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir kontrol noktasındaki hizmet süreci ise saatte ortalama 66 araca hizmet verilecek şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu kuyruk sisteminde herhangi bir anda sistemin tamamen boş olması olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. 1/2Cevap
  2. B
    1/3
  3. C
    1/4
  4. D
    2/3
  5. E
    3/4

Cevap

Sistemin tamamen boş olması olasılığı 1/2'dir.
Sistemin boş olma olasılığı, verilen parametreler (λ=4,μ=6,c=2\lambda=4, \mu=6, c=2) doğrultusunda ilgili olasılık fonksiyonu kullanılarak hesaplanmıştır. λ/μ=2/3\lambda/\mu = 2/3 ve ρ=1/3\rho = 1/3 değerleri formüle yerleştirildiğinde, serinin ilk iki terimi 1+2/3=5/31 + 2/3 = 5/3 ve kuyruk terimi 1/31/3 olarak bulunur. Toplamları olan 22 değerinin tersi alındığında doğru sonuç 1/21/2 olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirle.
λ=4\lambda = 4, μ=6\mu = 6, c=2c = 2
M/M/c modelinde varış hızı, hizmet hızı ve kanal sayısı temel girdilerdir.
2
Sistemin kullanım oranını (trafik yoğunluğunu) hesapla.
ρ=λcμ=42×6=13\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{4}{2 \times 6} = \frac{1}{3}
Sistemin kararlı olup olmadığını ve formüllerdeki ρ\rho değerini bulmak gerekir.
3
Sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) formülünü kur.
P0=[∑n=0c−1(λ/μ)nn!+(λ/μ)cc!(11−ρ)]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!} \left( \frac{1}{1 - \rho} \right) \right]^{-1}
Çok kanallı sonsuz kapasiteli modelde denge durumu olasılığı bu formülle bulunur.
4
Değerleri formülde yerine koy ve hesapla.
P0=[((2/3)00!+(2/3)11!)+(2/3)22!(1−1/3)]−1=[(1+2/3)+4/92×2/3]−1=[5/3+1/3]−1=[6/3]−1=1/2P_0 = [ ( \frac{(2/3)^0}{0!} + \frac{(2/3)^1}{1!} ) + \frac{(2/3)^2}{2! (1 - 1/3)} ]^{-1} = [ (1 + 2/3) + \frac{4/9}{2 \times 2/3} ]^{-1} = [ 5/3 + 1/3 ]^{-1} = [ 6/3 ]^{-1} = 1/2
Gerekli sadeleştirmeler yapılarak olasılık değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Kuyruk Modelinde Boşta Kalma Olasılığı

Daha Fazla Pratik

Kanal sayısının (cc) değişmesi durumunda P0P_0 değerinin nasıl etkilendiğini gözlemlemek için c=3c=3 durumunu hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru