Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMODI (U-V) Yöntemi ile Optimum Çözüm Testi

Bir tarım kooperatifinin üç deposundan üç farklı markete zeytinyağı sevkiyatı için planladığı birim taşıma maliyetleri (TL/teneke) ve Kuzeybatı Köşe Yöntemi ile elde edilmiş başlangıç temel uygun çözümü aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

MerkezlerMarket AMarket BMarket C
Depo 1x11=100x_{11}=100, c11=8c_{11}=8Boş, c12=5c_{12}=5Boş, c13=6c_{13}=6
Depo 2x21=20x_{21}=20, c21=12c_{21}=12x22=130x_{22}=130, c22=9c_{22}=9Boş, c23=10c_{23}=10
Depo 3Boş, c31=3c_{31}=3x32=50x_{32}=50, c32=7c_{32}=7x33=150x_{33}=150, c33=4c_{33}=4

Tabloda xijx_{ij} atama (taşıma) miktarını, cijc_{ij} ise ilgili güzergaha ait birim taşıma maliyetini göstermektedir. Boş hücreler ise temel olmayan hücreleri ifade etmektedir.

Buna göre, u1=0u_1 = 0 alınarak MODI (U-V) yöntemiyle optimum çözüm testi yapıldığında, Depo 3 - Market A (3. satır, 1. sütun) hücresinin geliştirme endeksi (Δij=cij−(ui+vj)\Delta_{ij} = c_{ij} - (u_i + v_j)) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. -7Cevap
  2. B
    7
  3. C
    10
  4. D
    -5
  5. E
    4

Cevap

-7
Doğru cevap −7-7'dir. MODI (U-V) yönteminde öncelikle dolu hücreler (atama yapılmış olanlar) için cij=ui+vjc_{ij} = u_i + v_j eşitliği kurularak dual değişkenler hesaplanır. Soru u1=0u_1=0 olarak kabul etmemizi istemiştir.
(1,1) hücresi dolu olduğundan c11=u1+v1  ⟹  8=0+v1  ⟹  v1=8c_{11} = u_1 + v_1 \implies 8 = 0 + v_1 \implies v_1=8 bulunur.
(2,1) hücresi dolu olduğundan c21=u2+v1  ⟹  12=u2+8  ⟹  u2=4c_{21} = u_2 + v_1 \implies 12 = u_2 + 8 \implies u_2=4 bulunur.
(2,2) hücresi dolu olduğundan c22=u2+v2  ⟹  9=4+v2  ⟹  v2=5c_{22} = u_2 + v_2 \implies 9 = 4 + v_2 \implies v_2=5 bulunur.
(3,2) hücresi dolu olduğundan c32=u3+v2  ⟹  7=u3+5  ⟹  u3=2c_{32} = u_3 + v_2 \implies 7 = u_3 + 5 \implies u_3=2 bulunur.
(3,3) hücresi dolu olduğundan c33=u3+v3  ⟹  4=2+v3  ⟹  v3=2c_{33} = u_3 + v_3 \implies 4 = 2 + v_3 \implies v_3=2 bulunur.
İstenilen Depo 3 - Market A (3. satır 1. sütun) hücresinin maliyeti c31=3c_{31}=3'tür. Geliştirme endeksi formülü olan Δij=cij−(ui+vj)\Delta_{ij} = c_{ij} - (u_i + v_j) uygulandığında; Δ31=3−(2+8)=3−10=−7\Delta_{31} = 3 - (2 + 8) = 3 - 10 = -7 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dolu (temel) hücreleri belirleyerek her biri için cij=ui+vjc_{ij} = u_i + v_j denklemini yaz.
Dolu hücreler: (1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3).
MODI yönteminde dual değişkenlerin (ui,vju_i, v_j) hesaplanabilmesi için atama yapılmış hücrelerin taşıma maliyetlerinden faydalanılır.
2
Soruda verilen u1=0u_1 = 0 değerini kullanarak bağlantılı temel hücreler üzerinden sırasıyla tüm uiu_i ve vjv_j değerlerini hesapla.
u1=0  ⟹  0+v1=8  ⟹  v1=8u_1=0 \implies 0+v_1=8 \implies v_1=8.
v1=8  ⟹  u2+8=12  ⟹  u2=4v_1=8 \implies u_2+8=12 \implies u_2=4.
u2=4  ⟹  4+v2=9  ⟹  v2=5u_2=4 \implies 4+v_2=9 \implies v_2=5.
v2=5  ⟹  u3+5=7  ⟹  u3=2v_2=5 \implies u_3+5=7 \implies u_3=2.
u3=2  ⟹  2+v3=4  ⟹  v3=2u_3=2 \implies 2+v_3=4 \implies v_3=2.
Birbirine zincirleme bağlı olan dolu hücre maliyetleri sayesinde tüm satır ve sütun değişkenleri tekil olarak belirlenebilir.
3
Soruda istenen (3,1) boş hücresinin maliyet (c31c_{31}) ve denk gelen dual değişkenlerini (u3,v1u_3, v_1) tespit et.
c31=3c_{31} = 3, u3=2u_3 = 2 ve v1=8v_1 = 8.
Geliştirme endeksi hesaplaması boş hücrenin kendi parametrelerine ihtiyaç duyar.
4
Geliştirme endeksi formülünü (Δij=cij−(ui+vj)\Delta_{ij} = c_{ij} - (u_i + v_j)) kullanarak sonucu hesapla.
Δ31=3−(2+8)=3−10=−7\Delta_{31} = 3 - (2 + 8) = 3 - 10 = -7.
Bu değer, atama yapılmayan bu hücreye 1 birim ürün aktarılırsa toplam maliyetin 7 TL düşeceğini gösterir ve yöntemin temel test kuralıdır.

Anahtar Kavram

MODI yöntemi ile ulaştırma modellerinde temel olmayan hücrelerin fırsat maliyetlerinin/geliştirme endekslerinin hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

MODI (U-V) Yöntemi ile Optimum Çözüm Testi

Bu konudan daha fazla soru