Bir araştırmacı, bir üretim sürecini modellemek amacıyla parametreleri açısından doğrusal … — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bir üretim sürecini modellemek amacıyla parametreleri açısından doğrusal olmayan iki farklı fonksiyonel yapıyı incelemektedir:

Model I: $\quad Q_i = \beta_0 \cdot L_i^{\beta_1} \cdot K_i^{\beta_2} \cdot e^{u_i}$
Model II: $\quad Q_i = \beta_0 \cdot L_i^{\beta_1} \cdot K_i^{\beta_2} + v_i$

Burada $Q_i$ üretim miktarını, $L_i$ ve $K_i$ sırasıyla emek ve sermaye girdilerini göstermektedir. Model I'deki $u_i$ ve Model II'deki $v_i$ klasik varsayımları sağladığı düşünülen rassal hata terimleridir. Araştırmacı, bu iki modeli de uygun matematiksel dönüşümler kullanarak doğrusal bir forma getirmeyi ve parametrelerini standart En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmeyi planlamaktadır.

Bu modellerin yapısal özellikleri ve doğrusal hale getirilebilirliği (içsel doğrusallık) göz önüne alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Model I, logaritmik dönüşümle parametreleri açısından doğrusal ve toplanabilir hata terimli bir modele dönüştürülerek EKK ile tahmin edilebilirken; Model II, toplanabilir hata terimi yapısı sebebiyle doğrusal hale getirilemez.Cevap
B
Model I logaritmik olarak dönüştürüldükten sonra hesaplanacak $R^2$ değeri, modelin uyum iyiliğini ölçmek için bağımlı değişkenin $Q_i$ olduğu orijinal yapıdaki bir modelin $R^2$ değeri ile doğrudan kıyaslanabilir.
C
Model I'e logaritmik dönüşüm uygulandığında tahmin edilecek $\beta_1$ katsayısı, tıpkı yarı-logaritmik modellerde olduğu gibi $L_i$ girdisindeki bir birimlik mutlak artışın $Q_i$ üzerindeki oransal etkisini ölçer.
D
Her iki model de başlangıçta üstel fonksiyonel formda olduğundan, doğrusal hale getirildiklerinde Gauss-Markov teoreminin sapmasızlık şartını sağlasalar dahi, elde edilen tahminciler kesinlikle etkin (minimum varyanslı) olamazlar.
E
Model II'de $L_i$ ve $K_i$ arasında yüksek bir çoklu doğrusal bağlantı olması durumunda EKK tahmincileri sapmalı hale geleceğinden, sapmasız tahminler elde edebilmek için her iki modelin de logaritmik forma dönüştürülmesi zorunludur.

Cevap

Doğru yanıt, Model I'in logaritmik dönüşümle parametrelerine göre doğrusal ve toplanabilir hata terimli bir forma getirilebildiğinden EKK ile tahmin edilebilirken, Model II'nin baştan toplanabilir yapıdaki hata terimi sebebiyle doğrusal hale getirilemeyeceğini belirten seçenektir.

EKK (En Küçük Kareler) yönteminin bir modele uygulanabilmesi için temel matematiksel şart, modelin parametrelerine göre doğrusal olması ve hata teriminin modelin deterministik (açıklayıcı) kısmına toplanabilir (additive) olarak eklenmesidir. Model I, logaritma işlemi sonrasında

\ln(Q_i) = \ln(\beta_0) + \beta_1\ln(L_i) + \beta_2\ln(K_i) + u_i

haline gelerek her iki koşulu da kusursuz sağlar. Ancak Model II'de hata terimi zaten toplanabilir formdadır; bu durumda modelin her iki tarafının logaritmasını almak, sağ tarafı ayrılamaz tek bir logaritma bloku içine sokar:

\ln(\dots + v_i)

. Bu durum, parametreleri doğrusal yapıya taşıyamadığı için Model II, EKK ile tahmin edilemez.

Adım Adım Çözüm

Model I'in içsel doğrusallığını (doğrusal hale getirilebilirliğini) matematiksel olarak test etme.

Model I'in eşitliğinin her iki tarafının doğal logaritması alınır:

\ln(Q_i) = \ln(\beta_0) + \beta_1\ln(L_i) + \beta_2\ln(K_i) + u_i

Model I çarpımsal bir forma ve üstel bir hata terimine (

e^{u_i}

) sahiptir. Logaritmik dönüşüm sayesinde bu çarpımsal yapı hem parametreler açısından doğrusal bir denkleme hem de toplanabilir bir hata terimine dönüşür; böylece EKK güvenle uygulanabilir.

Model II'nin içsel doğrusallığını test etme.

Model II'nin her iki tarafının logaritması alınır:

\ln(Q_i) = \ln(\beta_0 L_i^{\beta_1} K_i^{\beta_2} + v_i)

Model II'de hata terimi başlangıçta denkleme toplamsal (+) olarak bağlıdır. Logaritma işlemi toplam formundaki bir ifadeyi doğrusal bileşenlere ayıramayacağı için, parametreler doğrusallaştırılamaz. Bu yüzden Model II içsel doğrusal (intrinsically linear) değildir.

Diğer seçeneklerdeki ekonometrik yargıları doğrusal regresyon teorisiyle kıyaslama.

Çift logaritmik modellerin katsayılarının mutlak değil oransal değişimleri (esnekliği) ifade ettiği, farklı bağımlı değişken formlarında

R^2

'lerin karşılaştırılamayacağı ve çoklu bağlantının sapmaya yol açmadığı tespit edilir.

Ekonometride model seçimi ve spesifikasyonu yapılırken Gauss-Markov varsayımları, dönüşüm kuralları ve test kıstasları kesin teorik temellere dayanmalıdır.

Anahtar Kavram

İçsel Doğrusallık (Doğrusal Hale Getirilebilirlik) ve Hata Teriminin Fonksiyonel Yapısı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular