Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDeğişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları

XX ve YY rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x,y)={2x,0<x<1 ve 0<y<10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak verilmiştir.

Buna göre, V=X−YV = X - Y rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu h(v)h(v) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. {(1+v)2,−1<v≤01−v2,0<v<10,dig˘er\begin{cases} (1+v)^2, & -1 < v \le 0 \\ 1-v^2, & 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}Cevap
  2. B
    {2(1+v)2,−1<v≤02(1−v2),0<v<10,dig˘er\begin{cases} 2(1+v)^2, & -1 < v \le 0 \\ 2(1-v^2), & 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  3. C
    {1−v2,−1<v<10,dig˘er\begin{cases} 1-v^2, & -1 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  4. D
    {1+2v,−1<v<10,dig˘er\begin{cases} 1+2v, & -1 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  5. E
    {(1+v)2,−1<v<10,dig˘er\begin{cases} (1+v)^2, & -1 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Cevap

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, v≤0v \le 0 için (1+v)2(1+v)^2 ve v>0v > 0 için 1−v21-v^2 olan parçalı fonksiyondur.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan V=X−YV = X - Y dağılımını elde etmek için X=V+YX = V + Y dönüşümü kullanılarak ∫f(v+y,y)dy\int f(v+y, y) dy integrali hesaplanır. Dağılımın tanımlı olduğu 0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1 kısıtları, 0<v+y<10 < v+y < 1 koşulunu doğurur. Bu eşitsizlikler yy değişkeni için çözüldüğünde, yy'nin geçerli olacağı aralık vv'nin işaretine göre değişir. v≤0v \le 0 iken kesişim sınırları (−v,1)(-v, 1) aralığına dönüşür ve ∫−v12(v+y)dy=(1+v)2\int_{-v}^{1} 2(v+y) dy = (1+v)^2 hesaplanır. Diğer taraftan v>0v > 0 iken kesişim sınırları (0,1−v)(0, 1-v) aralığına dönüşür ve ∫01−v2(v+y)dy=1−v2\int_{0}^{1-v} 2(v+y) dy = 1-v^2 bulunur. Sonuçların birleşimi aranan parçalı fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm denklemini ve ortak dağılım fonksiyonunu yazma
V=X−Y  ⟹  X=V+YV = X - Y \implies X = V + Y dönüşümü yapılır. Marjinal PDF için h(v)=∫f(v+y,y)dy=∫2(v+y)dyh(v) = \int f(v+y, y) dy = \int 2(v+y) dy integrali kurulur.
Sürekli rastgele değişkenlerin farkının dağılımını bulmak için konvolüsyon (evrişim) tekniği kullanılmalıdır.
2
Değişkenlerin geçerli olduğu sınırların kesişimini analiz etme
Tanım kümesi gereği 0<X<10 < X < 1 ve 0<Y<10 < Y < 1'dir. Bu nedenle 0<V+Y<10 < V+Y < 1 olmalıdır. Buradan YY'nin sınırları −v<Y<1−v-v < Y < 1-v olarak elde edilir. Aynı zamanda 0<Y<10 < Y < 1 şartı da sağlanmalıdır.
Herhangi bir vv değeri için yy'nin entegre edilebileceği ortak geçerli aralığı bulmak zorunludur.
3
v ≤ 0 durumu için sınırları belirleme ve integrali hesaplama
v≤0v \le 0 olduğunda max⁡(0,−v)=−v\max(0, -v) = -v ve min⁡(1,1−v)=1\min(1, 1-v) = 1 olur. Sınırlar (−v,1)(-v, 1) olarak belirlenir. ∫−v12(v+y)dy=[2vy+y2]−v1=(2v+1)−(−2v2+v2)=(1+v)2\int_{-v}^{1} 2(v+y) dy = \left[ 2vy + y^2 \right]_{-v}^{1} = (2v+1) - (-2v^2+v^2) = (1+v)^2 bulunur.
Negatif vv değerleri için olasılık bölgesi, birim karenin sol üst tarafında kalan kesişim alanıdır.
4
v > 0 durumu için sınırları belirleme ve integrali hesaplama
v>0v > 0 olduğunda max⁡(0,−v)=0\max(0, -v) = 0 ve min⁡(1,1−v)=1−v\min(1, 1-v) = 1-v olur. Sınırlar (0,1−v)(0, 1-v) olarak belirlenir. ∫01−v2(v+y)dy=[2vy+y2]01−v=2v(1−v)+(1−v)2=1−v2\int_{0}^{1-v} 2(v+y) dy = \left[ 2vy + y^2 \right]_{0}^{1-v} = 2v(1-v) + (1-v)^2 = 1 - v^2 bulunur.
Pozitif vv değerleri için olasılık bölgesi, birim karenin sağ alt tarafında kalan kesişim alanıdır.
5
Parçalı olasılık yoğunluk fonksiyonunu birleştirme
Elde edilen her iki durum bir araya getirilerek h(v)h(v) parçalı fonksiyonu nihai haliyle yazılır.
XX ve YY arasındaki farkın tanım kümesi olan (−1,1)(-1, 1) aralığını eksiksiz bir şekilde tanımlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Değişken Dönüşümlerinde Parçalı İntegrasyon Sınırları ve Konvolüsyon

Alternatif Yöntem

Soru CDF (Birikimli Dağılım Fonksiyonu) yöntemiyle de çözülebilir. FV(v)=P(X−Y<v)=P(X<Y+v)F_V(v) = P(X - Y < v) = P(X < Y + v) olasılığı, f(x,y)=2xf(x,y) = 2x fonksiyonunun x<y+vx < y + v bölgesi üzerinde çift katlı integre edilmesiyle elde edilir. Çıkan sonucun vv'ye göre türevi alınarak yoğunluk fonksiyonu parçalı şekilde doğrulanabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları