Bir araştırmacı, yeni bir kaplama malzemesinin aşınma direncini incelemek üzere üç faktörl… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, yeni bir kaplama malzemesinin aşınma direncini incelemek üzere üç faktörlü bir deney tasarlamıştır. Araştırmada;
- Sıcaklık (A faktörü): Araştırmacı tarafından özel olarak belirlenen $a$ farklı düzeyde (sabit etkili),
- Hammadde Partisi (B faktörü): Üretim hattından rastgele seçilen $b$ farklı düzeyde (şansa bağlı etkili),
- Kullanılan Makine (C faktörü): Fabrikadaki makineler arasından rastgele seçilen $c$ farklı düzeyde (şansa bağlı etkili) ele alınmıştır.

Her bir kombinasyon için $n$ adet ölçüm yapılmıştır. Araştırmacı analizinde klasik kısıtlı karma model (restricted mixed model) varsayımlarını (sabit faktör üzerindeki etkileşim toplamlarının sıfır olması varsayımı) dikkate almaktadır.

Buna göre, 'Hammadde Partisi' (B faktörü) ana etkisinin anlamlılığını test etmek isteyen araştırmacının dikkate alması gereken Beklenen Kareler Ortalaması denklemi $E(KO_B)$ ve kullanması gereken doğru $F$ test istatistiği aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?
(Not: Hata varyansı $\sigma^2$ ile gösterilmiş olup, modeldeki tüm faktörler arası etkileşimlerin var olduğu kabul edilmektedir.)

A
$E(KO_B) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + cn\sigma^2_{AB} + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B$ ve kesin (exact) bir F testi yoktur.
B
$E(KO_B) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + acn\sigma^2_B$ ve $F = \frac{KO_B}{KO_{ABC}}$
$E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B$ ve $F = \frac{KO_B}{KO_{BC}}$ Cevap
D
$E(KO_B) = \sigma^2 + cn\sigma^2_{AB} + acn\sigma^2_B$ ve $F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}$
E
$E(KO_B) = \sigma^2 + acn\sigma^2_B$ ve $F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}$

Cevap

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

F = \frac{KO_B}{KO_{BC}}

ifadesidir.

Kısıtlı karma modelde (restricted mixed model), bir etkinin Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) hesaplanırken o etkiyi içeren daha yüksek dereceli etkileşimlere bakılır. Eğer ilgili etkileşime eklenen faktörlerden herhangi biri 'sabit (fixed)' ise, o etkileşimin varyans unsuru E(KO) denklemine katılmaz; sadece tüm eklenen faktörlerin 'şansa bağlı (random)' olduğu durumlar katılır. B faktörünü (şansa bağlı) içeren etkileşimler AB, BC ve ABC'dir. AB ve ABC etkileşimlerine eklenen A faktörü 'sabit' olduğu için

\sigma^2_{AB}

\sigma^2_{ABC}

denkleme dâhil edilmez. Sadece eklenen C faktörü 'şansa bağlı' olduğu için

\sigma^2_{BC}

dâhil edilir. Böylece

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

elde edilir. Aynı algoritmik kural BC etkileşimine uygulandığında

E(KO_{BC}) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC}

bulunur.

H_0: \sigma^2_B = 0

hipotezini test etmek için E(KO) değerleri oranlandığında, doğru ve kesin F testi

F = KO_B / KO_{BC}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Model türünü ve faktörlerin niteliklerini belirleme.

Model üç faktörlü kısıtlı karma modeldir. A sabit, B ve C şansa bağlı etkilidir. Analizde hedeflenen etki B faktörüdür.

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kuralları, modelin kısıtlı/kısıtsız olmasına ve her bir faktörün sabit ya da şansa bağlı olmasına göre belirlenir.

B faktörünü içeren daha yüksek dereceli etkileşimleri tespit etme ve Kısıtlı Model kurallarını uygulama.

B'yi içeren etkileşimler: AB, BC, ABC'dir. Kural gereği, etkileşime eklenen harflerden (faktörlerden) herhangi biri 'sabit' ise o varyans unsuru denkleme alınmaz. AB ve ABC'ye eklenen 'A' sabittir, dışlanırlar. BC'ye eklenen 'C' şansa bağlıdır, denkleme alınır.

Kısıtlı karma modelde, sabit faktör üzerinden alınan etkileşim toplamlarının sıfır olması varsayımı nedeniyle ilgili varyans unsurları E(KO) denkleminden düşer.

B faktörü için E(KO) denklemini ve katsayıları oluşturma.

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

denklemi elde edilir.

Her varyans unsurunun katsayısı, o etkileşimde yer almayan faktörlerin düzey sayıları ile tekrar sayısının (

n

) çarpımıyla bulunur.

Uygun F test istatistiği için payda (hata terimi) olarak kullanılacak kareler ortalamasını belirleme.

H_0: \sigma^2_B = 0

hipotezi altında payı eşitleyecek yapı

E(KO_{BC}) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC}

'dir. Bu nedenle payda

KO_{BC}

olmalıdır.

F istatistiğinin beklentisi 1'e yakınsamalıdır. Paydaki E(KO) ifadesinden, test edilen varyans unsuru çıkarıldığında kalan ifade paydanın E(KO) değerine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Karma Modellerde (Restricted Mixed Models) Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) Algoritması ve F Testi İstatistiği

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru