Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Bir kamu sağlığı uzmanı, belirli bir bulaşıcı hastalığın kuluçka sürelerinin normal dağılıma uyup uymadığını incelemektedir. Uzman, n=45n=45 hastadan oluşan bir örneklem seçmiş, ancak evrenin gerçek ortalama ve varyansını bilmediği için bu değerleri örneklem verisinden (sırasıyla xˉ\bar{x} ve s2s^2) tahmin etmiştir. Daha sonra, testin yokluk hipotezini (H0H_0) "Örneklemin çekildiği evrenin dağılımı N(xˉ,s2)N(\bar{x}, s^2)'dir" şeklinde tanımlamış ve hesapladığı maksimum mutlak fark (DD) istatistiğini, standart Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) kritik değerler tablosundaki α=0.05\alpha = 0.05 değeriyle karşılaştırmıştır.

Bu analiz yaklaşımının istatistiksel sonuçları dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Evren parametreleri örneklemden tahmin edilerek yokluk hipotezi oluşturulduğunda ampirik dağılım teorik dağılıma yapay olarak daha çok yaklaşır; standart K-S kritik değerlerinin kullanılması testi aşırı muhafazakar hale getirerek Tip I hata riskini hedeflenen α\alpha düzeyinin altına düşürür.Cevap
  2. B
    K-S testi parametrik olmayan ve dağılımdan bağımsız bir test olduğundan, yokluk hipotezindeki parametrelerin önceden bilinmesi veya örneklemden tahmin edilmesi kritik tablo değerlerini ve testin istatistiksel geçerliliğini etkilemez.
  3. C
    Tahmin edilen parametreler kullanılarak beklenen olasılıklar hesaplandığında, K-S istatistiği yerine daima serbestlik derecesi düşürülmüş Ki-Kare Uyum İyiliği testi kullanılması zorunludur, aksi takdirde DD istatistiği matematiksel olarak hesaplanamaz.
  4. D
    K-S testinde yokluk hipotezi dağılımın şeklinden ziyade yalnızca medyan üzerine kurulduğundan, ortalama ve varyansın örneklemden tahmin edilmesi testin temel varsayımlarına aykırıdır ve analizi baştan geçersiz kılar.
  5. E
    Örneklem verisi kullanılarak tahmin edilen parametreler, gözlenen ve beklenen dağılımlar arasındaki uyumsuzluğu artıracağından hesaplanan DD istatistiği şişer ve yokluk hipotezinin hatalı reddedilme (Tip I hata) olasılığı yapay olarak yükselir.

Cevap

Doğru yanıt, evren parametrelerinin örneklemden tahmin edilmesinin ampirik dağılımı teorik dağılıma yapay olarak yaklaştıracağını, bu nedenle standart K-S tablosunun kullanılmasının testi aşırı muhafazakar hale getirerek Tip I hata olasılığını düşüreceğini belirten seçenektir.
Standart Kolmogorov-Smirnov testinin en kritik varsayımlarından biri, test edilen teorik dağılımın parametrelerinin (normal dağılım için ortalama ve varyans) analizden önce bağımsız olarak belirlenmiş olmasıdır. Eğer araştırmacı evren parametrelerini bilmiyor ve bunları elindeki örneklemden (xˉ\bar{x} ve s2s^2 olarak) tahmin ederek teorik fonksiyonu (F0(x)F_0(x)) oluşturuyorsa, bu teorik eğri ister istemez ampirik veriye (Sn(x)S_n(x)) 'yapay' bir şekilde çok yakın olacaktır. Aralarındaki uyum mükemmelleştiği için hesaplanan maksimum sapma (DD istatistiği) gerçekte olması gerekenden daha küçük çıkar. Bu küçük DD değerini, parametrelerin önceden bilindiği varsayımıyla hazırlanan standart K-S tablosundaki yüksek kritik değerlerle karşılaştırmak, H0H_0 hipotezinin reddedilmesini çok zorlaştırır. İstatistiksel ifadeyle; test aşırı muhafazakarlaşır, Tip I hata yapma olasılığı belirlenen α\alpha değerinin oldukça altına düşer ve testin gücü zayıflar. Bu senaryoda yapılması gereken istatistiksel olarak en doğru işlem, parametre tahmininin yarattığı bu etkiyi düzelten Lilliefors normallik testini (ve onun özel kritik değer tablosunu) kullanmaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin temel varsayımlarını değerlendirmek.
Standart K-S testi, yokluk hipotezinde (H0H_0) belirtilen teorik dağılımın parametrelerinin (örneğin μ\mu ve σ2\sigma^2) analiz öncesinde kesin olarak bilindiğini varsayar.
Test istatistiğinin kritik değerleri bu varsayım altında türetilmiştir.
2
Parametrelerin örneklemden tahmin edilmesinin DD istatistiği üzerindeki etkisini analiz etmek.
Parametreler örneklemden (xˉ\bar{x} ve ss) hesaplandığında, oluşturulan teorik birikimli dağılım eğrisi (CDF) örneklem verisine maksimum düzeyde uydurulmuş olur. Bu durum, ampirik fonksiyon (Sn(x)S_n(x)) ile teorik fonksiyon (F0(x)F_0(x)) arasındaki en büyük dikey mesafeyi (DD) yapay olarak küçültür.
En küçük kareler benzeri bir mantıkla, veriden elde edilen ortalama ve varyans eğriyi verinin tam ortasına oturtur.
3
Küçülen DD istatistiğinin standart kritik değerler tablosu ile kullanımının sonucunu yorumlamak.
Hesaplanan DD değeri yapay olarak küçük çıktığından, sabit olan standart K-S kritik tablo değerini aşması (yani H0H_0'ı reddetmek) zorlaşır. Gerçekleşen Tip I hata oranı belirlenen α\alpha'dan (ör. 0.05) daha düşük olur.
Test "aşırı muhafazakar" (conservative) davranır, istatistiksel gücü zayıflar. Bu durumu aşmak için parametre tahminini hesaba katan Lilliefors testinin özel kritik değerleri kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

Standart K-S Testinde Parametre Tahmini Problemi ve Lilliefors Düzeltmesi İhtiyacı
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Bu konudan daha fazla soru