Examkin

Soru

Zorluk: OrtaI. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bir elektronik eşya üreticisi, ürettiği bataryaların kullanım ömrünün normal dağılıma sahip olduğunu ve standart sapmasının σ=15\sigma = 15 saat olduğunu bilmektedir. Bataryaların ortalama kullanım ömrü (μ\mu) ile ilgili kurulan,

H0:μ=100H_0: \mu = 100 saat
H1:μ=109H_1: \mu = 109 saat

hipotezlerini test etmek için rastgele n=25n = 25 adet batarya seçilmiş ve örneklem ortalaması (Xˉ\bar{X}) hesaplanmıştır. Bu test için belirlenen karar kuralına göre, eğer Xˉ>106\bar{X} > 106 saat ise H0H_0 hipotezi reddedilecektir.

Buna göre, bu testin anlamlılık düzeyi (α\alpha) ve II. tip hata yapma olasılığı (β\beta) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

(Standart normal dağılım tablosundan bazı değerler: P(Z≤1)=0.8413P(Z \leq 1) = 0.8413, P(Z≤2)=0.9772P(Z \leq 2) = 0.9772)

  1. α=0.0228\alpha = 0.0228 ve β=0.1587\beta = 0.1587Cevap
  2. B
    α=0.1587\alpha = 0.1587 ve β=0.0228\beta = 0.0228
  3. C
    α=0.0228\alpha = 0.0228 ve β=0.8413\beta = 0.8413
  4. D
    α=0.9772\alpha = 0.9772 ve β=0.1587\beta = 0.1587
  5. E
    α=0.9772\alpha = 0.9772 ve β=0.8413\beta = 0.8413

Cevap

Testin anlamlılık düzeyi α=0.0228\alpha = 0.0228 ve II. tip hata olasılığı β=0.1587\beta = 0.1587'dir.
Doğru olan H0H_0 hipotezinin reddedilme olasılığı α\alpha (anlamlılık düzeyi), yanlış olan H0H_0 hipotezinin reddedilememe olasılığı ise β\beta (II. tip hata) olarak tanımlanır. Xˉ>106\bar{X} > 106 red bölgesi kuralına göre n=25n=25 için standart hata 33 alınarak standartlaştırma yapıldığında, α\alpha için Z>2Z > 2 ve β\beta için Z≤−1Z \leq -1 kuyruk bölgelerine ulaşılır. Tablo değerleri ve simetri özellikleri kullanıldığında doğru olasılıklar sırasıyla 0.02280.0228 ve 0.15870.1587 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamasının standart hatasını (σXˉ\sigma_{\bar{X}}) hesaplamak.
σXˉ=σn=1525=155=3\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3 saat.
Test istatistiğini bulmak için popülasyon varyansından hareketle örneklem ortalamasının standart sapması bulunmalıdır.
2
Anlamlılık düzeyi olan I. tip hata olasılığını (α\alpha) hesaplamak.
α=P(Red H0∣H0 dog˘ru)=P(Xˉ>106∣μ=100)\alpha = P(\text{Red } H_0 \mid H_0 \text{ doğru}) = P(\bar{X} > 106 \mid \mu = 100). Standartlaştırma yapıldığında Z=106−1003=2Z = \frac{106 - 100}{3} = 2. Buradan α=P(Z>2)=1−P(Z≤2)=1−0.9772=0.0228\alpha = P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 bulunur.
I. tip hata, yokluk hipotezi (H0H_0) gerçekte doğru olduğu halde test sonucunda red bölgesine düşülmesiyle yapılan hatadır.
3
II. tip hata olasılığını (β\beta) hesaplamak.
β=P(Kabul H0∣H1 dog˘ru)=P(Xˉ≤106∣μ=109)\beta = P(\text{Kabul } H_0 \mid H_1 \text{ doğru}) = P(\bar{X} \leq 106 \mid \mu = 109). Standartlaştırma yapıldığında Z=106−1093=−1Z = \frac{106 - 109}{3} = -1. Buradan β=P(Z≤−1)=1−P(Z≤1)=1−0.8413=0.1587\beta = P(Z \leq -1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 bulunur.
II. tip hata, alternatif hipotez (H1H_1) geçerli olduğu halde red bölgesine düşülememesi (testin H0'ı reddedememesi) durumudur.

Anahtar Kavram

I. Tip Hata (α\alpha) ve II. Tip Hata (β\beta) Olasılıklarının Normal Dağılım Altında Hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

I. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bu konudan daha fazla soru