Examkin

Soru

Zorluk: Zor(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğünde, emeklilik işlemlerini yürütmek üzere 22 adet özdeş tahsis uzmanı görev yapmaktadır. Dosyaların birime geliş süreci saatte ortalama 55 dosya olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir uzmanın dosyayı inceleyip sonuçlandırma süresi ise saatte ortalama 33 dosya olacak şekilde üstel dağılıma uymaktadır.

Sistemin kararlı (steady-state) durumda olduğu varsayımı altında, kuyrukta bekleyen ortalama dosya sayısı (LqL_q) kaçtır?

  1. A
    2533\frac{25}{33}
  2. B
    256\frac{25}{6}
  3. C
    6011\frac{60}{11}
  4. 12533\frac{125}{33}Cevap
  5. E
    12518\frac{125}{18}

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama dosya sayısı 12533\frac{125}{33}'tür.
Verilen (M/M/2) kuyruk modelinde varış hızı λ=5\lambda=5 dosya/saat, hizmet hızı μ=3\mu=3 dosya/saat olarak verilmiştir. Sistem kullanım faktörü ρ=λcμ=56\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{5}{6} olmaktadır. Çok kanallı yapıda sistemin boş kalma olasılığı P0=[1+53+(5/3)22!11−5/6]−1=111P_0 = \left[ 1 + \frac{5}{3} + \frac{(5/3)^2}{2!} \frac{1}{1 - 5/6} \right]^{-1} = \frac{1}{11} olarak hesaplanır. Kuyrukta bekleyen ortalama dosya sayısı ise Lq=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1-\rho)^2} formülü kullanılarak Lq=(111)(259)(56)2(136)=12533L_q = \frac{(\frac{1}{11}) (\frac{25}{9}) (\frac{5}{6})}{2 (\frac{1}{36})} = \frac{125}{33} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (M/M/c) parametrelerini belirle ve kullanım faktörünü (ρ\rho) hesapla.
λ=5\lambda = 5, μ=3\mu = 3, c=2c = 2. ρ=λcμ=52×3=56\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{5}{2 \times 3} = \frac{5}{6}. Trafik yoğunluğu λμ=53\frac{\lambda}{\mu} = \frac{5}{3}.
P0P_0 ve LqL_q formüllerinde kullanılacak temel oranları elde etmek.
2
Sistemin tamamen boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=[(5/3)00!+(5/3)11!+(5/3)22!(11−5/6)]−1=[1+53+25/181/6]−1=[83+253]−1=(333)−1=111P_0 = \left[ \frac{(5/3)^0}{0!} + \frac{(5/3)^1}{1!} + \frac{(5/3)^2}{2!} \left( \frac{1}{1 - 5/6} \right) \right]^{-1} = \left[ 1 + \frac{5}{3} + \frac{25/18}{1/6} \right]^{-1} = \left[ \frac{8}{3} + \frac{25}{3} \right]^{-1} = \left( \frac{33}{3} \right)^{-1} = \frac{1}{11}.
M/M/c modelinde performans ölçütlerini bulabilmek için öncelikle sistemin boş kalma olasılığına ihtiyaç vardır.
3
Kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı (LqL_q) formülünü uygula.
Lq=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=(111)(53)2(56)2!(1−56)2=111×259×562×136=125594118=125594×18=12533L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1-\rho)^2} = \frac{(\frac{1}{11}) (\frac{5}{3})^2 (\frac{5}{6})}{2! (1 - \frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{1}{11} \times \frac{25}{9} \times \frac{5}{6}}{2 \times \frac{1}{36}} = \frac{\frac{125}{594}}{\frac{1}{18}} = \frac{125}{594} \times 18 = \frac{125}{33}.
Soru metninde istenen spesifik performans ölçütünü nihai olarak elde etmek.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model Parametreleri ve LqL_q Hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru