Examkin

Soru

Zorluk: Çok zor(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir Tapu Müdürlüğünde ipotek tesis işlemleri için 33 adet özdeş memur görev yapmaktadır. Müdürlüğe ipotek işlemi için gelen vatandaşların varış süreci, ortalama her 66 dakikada bir kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Bir memurun bir ipotek işlemini tamamlama süresi ortalama 1212 dakika olup üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre, sistem kararlı durumdayken (steady-state) kuyrukta bekleyen ortalama vatandaş sayısı (LqL_q) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    831\frac{8}{31}
  2. B
    49\frac{4}{9}
  3. 89\frac{8}{9}Cevap
  4. D
    43\frac{4}{3}
  5. E
    269\frac{26}{9}

Cevap

Sistem kararlı durumdayken kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı 89\frac{8}{9}'dur.
Verilen bilgilerden λ=10\lambda = 10 kişi/saat, μ=5\mu = 5 kişi/saat ve c=3c=3 olarak bulunur. Sistemin boş kalma olasılığı formülünde değerler yerine konduğunda P0=19P_0 = \frac{1}{9} elde edilir. Kuyruktaki müşteri sayısı formülü Lq=rcλμ(c−1)!(cμ−λ)2P0L_q = \frac{r^c \lambda \mu}{(c-1)!(c\mu - \lambda)^2} P_0 kullanılarak Lq=8×502×25×19=89L_q = \frac{8 \times 50}{2 \times 25} \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları ortak bir zaman birimine (saat) çevirerek temel parametreleri belirleyin.
Geliş hızı: λ=606=10\lambda = \frac{60}{6} = 10 kişi/saat. Hizmet hızı: μ=6012=5\mu = \frac{60}{12} = 5 kişi/saat. Kanal sayısı: c=3c = 3. Trafik yoğunluğu (sistem kullanım oranı): ρ=λcμ=103×5=1015=23<1\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{10}{3 \times 5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} < 1. Ortalama meşgul kanal sayısı: r=λμ=105=2r = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{10}{5} = 2.
Çok kanallı bekleme hattı modellerinde hesaplamaların doğru yapılabilmesi için varış ve hizmet hızlarının aynı zaman biriminde ifade edilmesi ve sistemin kararlı (ρ<1\rho < 1) olduğunun teyit edilmesi gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) formül yardımıyla hesaplayın.
P0=[∑n=0c−1(λ/μ)nn!+(λ/μ)cc!(cμcμ−λ)]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!} \left( \frac{c\mu}{c\mu - \lambda} \right) \right]^{-1} P0=[200!+211!+222!+233!(3×53×5−10)]−1P_0 = \left[ \frac{2^0}{0!} + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} \left( \frac{3 \times 5}{3 \times 5 - 10} \right) \right]^{-1} P0=[1+2+2+86×155]−1=[5+86×3]−1=[5+4]−1=19P_0 = \left[ 1 + 2 + 2 + \frac{8}{6} \times \frac{15}{5} \right]^{-1} = \left[ 5 + \frac{8}{6} \times 3 \right]^{-1} = \left[ 5 + 4 \right]^{-1} = \frac{1}{9}
Kuyruk uzunluğunu bulabilmek için öncelikle sistemde hiç müşteri olmaması (tüm memurların boşta olması) ihtimalinin bilinmesi zorunludur.
3
Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısını (LqL_q) hesaplayın.
Lq=[(λ/μ)cλμ(c−1)!(cμ−λ)2]P0L_q = \left[ \frac{(\lambda/\mu)^c \lambda \mu}{(c-1)!(c\mu - \lambda)^2} \right] P_0 Lq=[23×10×52!×(15−10)2]×19=[8×502×25]×19=40050×19=8×19=89L_q = \left[ \frac{2^3 \times 10 \times 5}{2! \times (15 - 10)^2} \right] \times \frac{1}{9} = \left[ \frac{8 \times 50}{2 \times 25} \right] \times \frac{1}{9} = \frac{400}{50} \times \frac{1}{9} = 8 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
(M/M/c) modelinde kuyruk uzunluğu (Lq), boşta kalma olasılığı (P0) ve sistem parametreleri üzerinden hesaplanır.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Kuyruk Modeli Performans Ölçütleri
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru