Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bir Tarım ve Orman İl Müdürlüğü, yetki alanındaki N=100N = 100 tarımsal sulama kooperatifinin bir sezondaki toplam su tüketimini (ton cinsinden) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla n=36n = 36 kooperatiften iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle veri derlenmiştir.

Örnekleme sonucunda kooperatif başına düşen ortalama su tüketimi yˉ=120\bar{y} = 120 ton ve örneklem varyansı s2=225s^2 = 225 olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, öncelikle kitle ortalamasının varyansını hesaplamış ve ardından bu değeri kullanarak kitle toplamı için %95 güven aralığını oluşturmuştur.

Buna göre, araştırmacının kitle toplamı için bulduğu %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 alınız.)

  1. A
    11.510 - 12.490
  2. B
    11.216 - 12.784
  3. 11.608 - 12.392Cevap
  4. D
    11.960,8 - 12.039,2
  5. E
    3.928 - 4.712

Cevap

Doğru aralık 11.608 ile 12.392 değerleri arasındadır.
Kitle toplamı tahmini N⋅yˉ=100⋅120=12.000N \cdot \bar{y} = 100 \cdot 120 = 12.000 olarak hesaplanır. Örneklem oranı 36/100=0,36>0,0536/100 = 0,36 > 0,05 olduğundan iadesiz örneklemede SKD kullanılmalıdır. SKD değeri 100−36100=0,64\frac{100-36}{100} = 0,64'tür. Ortalamanın varyansı Var(yˉ)=0,64⋅(225/36)=4Var(\bar{y}) = 0,64 \cdot (225 / 36) = 4 bulunur. Kitle toplamının varyansı ise N2⋅Var(yˉ)=10000⋅4=40.000N^2 \cdot Var(\bar{y}) = 10000 \cdot 4 = 40.000'dir. Standart hata 40.000=200\sqrt{40.000} = 200 olur. Güven aralığı 12.000±(1,96⋅200)12.000 \pm (1,96 \cdot 200) işleminden 12.000±39212.000 \pm 392 bulunur, bu da 11.608 - 12.392 aralığına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle toplamı için nokta tahminini (Y^\hat{Y}) hesapla.
Y^=N⋅yˉ=100⋅120=12.000\hat{Y} = N \cdot \bar{y} = 100 \cdot 120 = 12.000 ton.
Örneklem ortalaması üzerinden kitle büyüklüğünü (N) çarparak toplam değeri tahmin ederiz.
2
Örneklem kesrini kontrol et ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) gerekip gerekmediğini belirle.
n/N=36/100=0,36n/N = 36/100 = 0,36. Değer 0,05'ten büyük olduğu için SKD (N−nN\frac{N-n}{N}) kullanılmalıdır.
İadesiz seçimde büyük örneklemler kitleye yaklaştıkça varyansı daraltır, bu etkiyi formüle yansıtmak gerekir.
3
Kitle ortalamasının standart hatasını (SE(yˉ)SE(\bar{y})) hesapla.
SE(yˉ)=N−nN⋅sn=100−36100⋅1536=0,64⋅156=0,8⋅2,5=2,0SE(\bar{y}) = \sqrt{\frac{N-n}{N}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{100-36}{100}} \cdot \frac{15}{\sqrt{36}} = \sqrt{0,64} \cdot \frac{15}{6} = 0,8 \cdot 2,5 = 2,0.
Varyans hesabında standart sapmayı kök n'e bölüp SKD'nin karekökü ile çarparak ortalamanın standart hatasını buluruz.
4
Kitle toplamı için hata payını (ME) hesapla ve güven aralığını oluştur.
ME=N⋅Z⋅SE(yˉ)=100⋅1,96⋅2,0=392ME = N \cdot Z \cdot SE(\bar{y}) = 100 \cdot 1,96 \cdot 2,0 = 392. Aralık: 12.000±392=[11.608,12.392]12.000 \pm 392 = [11.608, 12.392].
Toplamın standart hatası ortalamanın standart hatasının N katıdır. Bu değer Z tablo değeri ile çarpılarak hata payı elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit Rastgele Örneklemede Kitle Toplamı İçin Güven Aralığı ve SKD
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru