Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bir kamu kurumu, bünyesinde görev yapan N=1000N = 1000 personelin bir ay içerisindeki toplam mesai saatlerini tahmin etmek amacıyla basit rastgele örnekleme yöntemiyle iadesiz olarak n=100n = 100 personeli seçerek bir inceleme yapmıştır. Örneklem verilerine dayalı olarak hesaplanan özet istatistikler şu şekildedir:

* Örneklem ortalaması (yˉ\bar{y}): 5050 saat
* Örneklem varyansı (s2s^2): 100100 saat2saat^2

Buna göre, kurumdaki personelin bir aydaki toplam mesai saati için %95\%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96 alınız.)

  1. 48.23648.236 ile 51.76451.764 saat arasıCevap
  2. B
    48.04048.040 ile 51.96051.960 saat arası
  3. C
    48.14048.140 ile 51.86051.860 saat arası
  4. D
    49.94149.941 ile 50.05950.059 saat arası
  5. E
    48.52048.520 ile 51.48051.480 saat arası

Cevap

Personelin bir aydaki toplam mesai saati için %95\%95 güven aralığı [48.236;51.764][48.236; 51.764] saat aralığındadır.
Doğru cevap, kitle toplamı tahmini olan 50.00050.000 değerine, SKD (0,90,9) içeren ve N2N^2 ile genişletilen varyanstan elde edilen 1.7641.764 hata payının eklenip çıkarılmasıyla bulunan aralıktır.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle toplamı tahmini hesaplanır.
τ^=N×yˉ=1000×50=50.000\hat{\tau} = N \times \bar{y} = 1000 \times 50 = 50.000 saat
Kitle toplamı, kitle büyüklüğü ile örneklem ortalamasının çarpımına eşittir.
2
Örneklem ortalamasının varyansı, Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) kullanılarak hesaplanır.
V^(yˉ)=s2n×(1−f)=100100×(1−1001000)=1×0,9=0,9\hat{V}(\bar{y}) = \frac{s^2}{n} \times (1 - f) = \frac{100}{100} \times (1 - \frac{100}{1000}) = 1 \times 0,9 = 0,9
İadesiz seçim yapıldığında ve örnekleme oranı (n/N>0,05n/N > 0,05) olduğunda SKD kullanılmalıdır.
3
Kitle toplamı tahmininin varyansı hesaplanır.
V^(τ^)=N2×V^(yˉ)=10002×0,9=900.000\hat{V}(\hat{\tau}) = N^2 \times \hat{V}(\bar{y}) = 1000^2 \times 0,9 = 900.000
Toplamın varyansı, ortalamanın varyansının N2N^2 katıdır.
4
Standart hata ve güven aralığı sınırları hesaplanır.
Standart Hata=900.000=900Standart\ Hata = \sqrt{900.000} = 900; Hata Payı=1,96×900=1.764Hata\ Payı = 1,96 \times 900 = 1.764
Güven aralığı, tahmin ediciye güven katsayısı ile standart hatanın çarpımının eklenip çıkarılmasıyla bulunur.
5
Alt ve üst sınırlar belirlenir.
50.000±1.764⇒[48.236;51.764]50.000 \pm 1.764 \Rightarrow [48.236; 51.764] saat
Nihai aralık elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit Rastgele Örneklemede (İadesiz) kitle toplamı için güven aralığı kurulurken standart hataya Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) dahil edilmeli ve varyans geçişinde N2N^2 çarpanı unutulmamalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru