Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bir belediye, yetki alanındaki N=400N = 400 adet park aydınlatma direğinin bir aylık toplam elektrik tüketimini tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen n=40n = 40 adet direğin elektrik tüketimleri incelenmiş ve aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

- Örneklem ortalaması: yˉ=80\bar{y} = 80 kWh
- Örneklem varyansı: s2=100s^2 = 100 (kWh)2(\text{kWh})^2

Buna göre, parklardaki tüm aydınlatma direklerinin bir aylık toplam elektrik tüketimi (YY) için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Not: Z0,025≈2Z_{0,025} \approx 2 alınız.)

  1. [30800;33200][30800; 33200] kWhCevap
  2. B
    [30736;33264][30736; 33264] kWh
  3. C
    [3080;3320][3080; 3320] kWh
  4. D
    [30200;33800][30200; 33800] kWh
  5. E
    [31980;32020][31980; 32020] kWh

Cevap

Toplam elektrik tüketimi için %95 güven aralığı [30800;33200][30800; 33200] kWh olarak hesaplanır.
Doğru çözümde önce n/N=0,1n/N = 0,1 oranıyla sonlu kitle düzeltme çarpanı belirlenmiş, ardından ortalamanın varyansı V^(yˉ)=2,25\hat{V}(\bar{y}) = 2,25 ve standart hatası 1,51,5 olarak hesaplanmıştır. Kitle toplamı tahmini olan 3200032000 değeri, hata payı olan Z×N×se(yˉ)=1200Z \times N \times se(\bar{y}) = 1200 ile toplanıp çıkarılarak [30800;33200][30800; 33200] aralığına ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnekleme oranını kontrol ederek sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) gerekip gerekmediğini belirlemek.
f=n/N=40/400=0,10f = n/N = 40/400 = 0,10. f>0,05f > 0,05 olduğu için SKD kullanılmalıdır.
İadesiz seçimde örnekleme oranı %5'i aştığında kitlenin sonlu olması varyansı düşürür.
2
Örneklem ortalamasının varyansını hesaplamak.
V^(yˉ)=s2n(1−f)=10040(1−0,1)=2,5×0,9=2,25\hat{V}(\bar{y}) = \frac{s^2}{n} (1-f) = \frac{100}{40} (1 - 0,1) = 2,5 \times 0,9 = 2,25.
Ortalamanın varyansı, örneklem varyansının örneklem hacmine bölünüp SKD ile çarpılmasıyla bulunur.
3
Ortalamanın standart hatasını bulmak.
se(yˉ)=2,25=1,5se(\bar{y}) = \sqrt{2,25} = 1,5.
Güven aralığı hesaplamasında varyansın karekökü olan standart hata kullanılır.
4
Kitle toplamı için güven aralığını kurmak.
Y^±Z×N×se(yˉ)=(400×80)±2×(400×1,5)=32000±1200\hat{Y} \pm Z \times N \times se(\bar{y}) = (400 \times 80) \pm 2 \times (400 \times 1,5) = 32000 \pm 1200. Alt sınır: 3080030800, Üst sınır: 3320033200.
Toplam tahmini, ortalama tahmininin kitle büyüklüğü (N) ile çarpılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit rastgele örneklemede kitle toplamı için güven aralığı kurulurken standart hataya sonlu kitle düzeltme çarpanı eklenmeli ve sonuç kitle büyüklüğü (N) ile genişletilmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Rastgele Örneklemede Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru